消失之物

P4141 消失之物

是一种被称为退背包的背包。

我们先求出不删除任何一个数的答案，这就是一个经典的背包问题，可以使用空间优化。

然后，我们考虑删除一个数。

我们有一个重要的性质：物品的顺序与方案数无关，如 \(1,2,3\)，\(2,1,3\) 没有区别。

于是，我们可以将要删除的这个数看作刚刚插入。

刚插入，那么肯定是可以撤销的，插入时倒着插，删除时就要正着删，至于为什么，请看下面的分析：

对于 \(f[i]\)，它从 \(f[i-v]\) 转移了，然后 \(f[i-v]\) 又从 \(f[i-2v]\) 转移，那么我们如果要从 \(f[i]\) 中去除贡献，那么就需要先从 \(f[i-v]\) 中取出贡献，否则去除的贡献就会增多。

口说无凭，举个例子。

\(f[0]\sim f[9]=\{10,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\)

我们设体积为 \(3\)。

插入时倒着转移一次，得 \(\{10,1,2,13,5,7,9,11,13,15\}\)

如果正着删除，先从第一个 \(13\) 中扣除 \(10\)， 变为 \(3\)（原来的样子），才能用它来扣除后面的，过程如下：

\(\{10,1,2,13,5,7,9,11,13,15\}\)

\(\{\textcolor{green}{10},1,2,\textcolor{red}3,5,7,9,11,13,15\}\)（\(13-10\)）

\(\{10,\textcolor{green}1,2,3,\textcolor{red}4,7,9,11,13,15\}\)（\(5-1\)）

\(\{10,1,\textcolor{green}2,3,4,\textcolor{red}5,9,11,13,15\}\)（\(7-2\)）

\(\{10,1,2,\textcolor{green}3,4,5,\textcolor{red}6,11,13,15\}\)（\(9-3\)）

\(\{10,1,2,3,\textcolor{green}4,5,6,\textcolor{red}7,13,15\}\)（\(11-4\)）

\(\{10,1,2,3,4,\textcolor{green}5,6,7,\textcolor{red}8,15\}\)（\(13-5\)）

\(\{10,1,2,3,4,5,\textcolor{green}6,7,8,\textcolor{red}9\}\)（\(15-6\)）

红色表示发生改变的值，绿色表示用来作差的值。

个人认为非常清楚，不清楚建议纸上画一画。

代码就非常简单了，每次开一个新的数组备份一下原数组的答案，进行回退操作即可。

复杂度 \(O(nm)\)。

#include<cstdio>
using namespace std;
#define Ed for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
#define Ls(i,l,r) for(int i=l;i<r;++i)
#define Rs(i,l,r) for(int i=l;i>r;--i)
#define Le(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
#define Re(i,l,r) for(int i=l;i>=r;--i)
#define L(i,l) for(int i=0;i<l;++i)
#define E(i,l) for(int i=1;i<=l;++i)
#define W(t) while(t--)
#define Wh while

const int N=2010,mod=10;
#define add(a,b) (a+=b)>=mod&&(a-=mod)
#define sub(a,b) (a-=b)<0&&(a+=mod)

int n,m,f[N],g[N],a[N];
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("1.in","r",stdin);
    #endif
    scanf("%d%d",&n,&m);
    f[0]=1;
    E(i, n){
        scanf("%d",a+i);
        int x=a[i];
        Re(j, m, x)add(f[j],f[j-x]);
    }
    // E(i, m)printf("f[%d]=%d\n",i,f[i]);
    g[0]=1;
    E(i, n){
        int x=a[i];
        E(j, m){
            g[j]=f[j];
            if(j>=x)sub(g[j],g[j-x]);
            putchar(g[j]+'0');
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}

几乎一样的习题

#include<cstdio>
#include<set>
using namespace std;
#define Ed for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
#define Ls(i,l,r) for(int i=l;i<r;++i)
#define Rs(i,l,r) for(int i=l;i>r;--i)
#define Le(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
#define Re(i,l,r) for(int i=l;i>=r;--i)
#define L(i,l) for(int i=0;i<l;++i)
#define E(i,l) for(int i=1;i<=l;++i)
#define W(t) while(t--)
#define Wh while

const int N=5010,mod=998244353;
int q,k,f[N];
char s[10];
multiset<int>se;
#define add(a,b) (a+=b)>=mod&&(a-=mod)
#define sub(a,b) (a-=b)<0&&(a+=mod)

int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("1.in","r",stdin);
    #endif
    scanf("%d%d",&q,&k);
    f[0]=1;
    E(i, q){
        int x;
        scanf("%s%d",s,&x);
        if(*s=='+')Re(j, k, x)add(f[j],f[j-x]);
        else Le(j, x, k)sub(f[j],f[j-x]);
        printf("%d\n",f[k]);
    }
    return 0;
}