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首先，一个图是好树的充分必要条件是 $\sum_{i = 1}^{N} X_{i} = 2 N - 2$ 。

证明：对于有 $N$ 个顶点的树来说，它恰好包含 $N - 1$ 条边，并且其中一条边对总度数的贡献为 $2$ ，所以必要性是显然的。另外，如下所述，我们可以具体构造一个"直径最大的好树"，因此充分性也得到证明。

假设存在一个好树，我们考虑它的最大直径。直径中的顶点除了两个端点外，度数都至少为 $2$ ，所以假设度数至少为 $2$ 的顶点的个数为 $K$ ，那么 $K + 1$ 是解的上界。反过来，存在直径为 $K + 1$ 的好树。具体构造如下：

将满足 $X_{i} \geq 2$ 的顶点 $i$ 按适当的顺序排列在一列中，并在相邻顶点之间添加边，形成一条路径。
重复以下步骤直到不满足 $X_{i} \geq 2$ 的顶点出现：从满足 $X_{i} \geq 2$ 的顶点中选择一个顶点 $i$ ，如果它的度数不满足 $X_{i}$ ，则选择一个度数为 $1$ 且尚未添加边的顶点 $j$ ，然后在顶点 $i$ 和 $j$ 之间添加一条边（根据 $\sum_{i = 1}^{N} X_{i} = 2 N - 2$ ，这个操作会恰好用完度数为 $1$ 的顶点 $j$ ）。

通过上述构造方式，我们可以构造出直径为 $K + 1$ 的好树（请参考提示中的图示）。因此，如果存在好树，令 $S$ 为满足条件的 $X$ 的集合，则：

$\begin{aligned} \sum_{X \in S} f (X) & = \sum_{X \in S} ((X 中大于等于 2 的整数的个数) + 1) \\ = | S | + \sum_{X \in S} (X 中大于等于 2 的整数的个数) \\ = | S | + \sum_{i = 1}^{N} (满足 X_{i} \geq 2 的 X \in S 的个数) \\ = | S | + (满足 X_{1} \geq 2 的 X \in S 的个数) \times N \\ = (满足 \sum_{i = 1}^{N} X_{i} = 2 N - 2 的正整数序列 X 的个数) + (满足 \sum_{i = 1}^{N} X_{i} = 2 N - 2 \land X_{1} \geq 2 的正整数序列 X 的个数) \times N \\ = (满足 \sum_{i = 1}^{N} X_{i} = N - 2 的非负整数序列 X 的个数) + (满足 \sum_{i = 1}^{N} X_{i} = N - 3 (集体 - 1, 然后对第一个再 - 1) 的非负整数序列 X 的个数) \times N \\ = (\binom{(N - 2) + (N - 1)}{N - 1}) + (\binom{(N - 3) + (N - 1)}{N - 1}) \times N \\ = (\binom{2 N - 3}{N - 1}) + (\binom{2 N - 4}{N - 1}) \times N \end{aligned}$