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首先，我们考虑当头部位置为 $x=k_0$ 时，如何判断是否能够抓住 $N$ 个宝藏满足问题描述中的条件。

我们将头部到宝藏的距离，即 $|X_i-k_0|$ $(1\le i\le N)$ 按照升序排序得到序列 $(Y_1,Y_2,\dots ,Y_N)$。
如果对于任意 $1\le i\le N$，满足 $Y_i\le L_i$，则可以按照条件抓住宝藏。这意味着我们只需要用第 $i$ 条胳膊抓住距离头部 $Y_i$ 的宝藏即可。
另一方面，如果存在某个 $1\le i\le N$，满足 $Y_i>L_i$，则无法按照条件抓住宝藏。这是因为至少有 $(N-i+1)$ 个宝藏与头部的距离大于 $L_i$，而我们最多只有 $(N-i)$ 条胳膊可以使用。

对于排序 $(Y_1,Y_2,\dots ,Y_N)$，我们可以使用快速排序等方法以 $O(N\log N)$ 的时间复杂度进行比较，并采取比较左右相邻元素的方法在 $O(N)$ 的时间内完成。因此，我们可以在 $O(N\log N)$ 或 $O(N)$ 的时间复杂度内进行判定。

然而，头部位置的候选范围是 $-2\times {10}^{18}\le x\le 2\times {10}^{18}$，对于所有可能的位置进行判定几乎是不可能的。因此，我们考虑在 $x=k_0$ 和 $x=k_0+1$ 两种情况下，条件是否会发生变化。

• 当 $x=k_0$ 时满足条件，但当 $x=k_0+1$ 时不满足条件

在这种情况下，我们需要考虑 $x=k_0$ 时满足条件的脚和宝藏的对应关系不能满足条件。换句话说，我们需要找到某个 $1\le i,j\le N$，满足 $k_0-L_j\le X_i\le k_0+L_j$ 且（$X_i<k_0+1-L_j$（必定成立） 或 $k_0+1+L_j<X_i$）。这样的条件只能满足当且仅当 $X_i=k_0-L_j\Rightarrow k_0=X_i+L_j$。因此，这样的 $k_0$ 最多只有 $N^2$ 个。

• 当 $x=k_0$ 时不满足条件，但当 $x=k_0+1$ 时满足条件

在这种情况下，我们需要考虑 $x=k_0+1$ 时满足条件的脚和宝藏的对应关系不能满足条件。换句话说，我们需要找到某个 $1\le i,j\le N$，满足 $k_0+1-L_j\le X_i\le k_0+1+L_j$ 且（$X_i<k_0-L_j$ 或 $k_0+L_j<X_i$（必定成立））。这样的条件只能满足当且仅当 $X_i=k_0+1+L_j\Rightarrow k_0=X_i-L_j-1$。因此，这样的 $k_0$ 最多也只有 $N^2$ 个。

因此，我们考虑集合 $S=\{X_i+L_j|1\le i,j\le N\}\bigcup \{X_i-L_j-1|1\le i,j\le N\}$，其元素数量最多为 $2N^2$。将其按升序排序得到序列 $S_1,S_2,\dots ,S_{|S|}$ $(S_1<S_2<\cdots <S_{|S|})$，则对于 $2\le i\le |S|$，满足 $x=S_i$ 的情况下是否满足问题描述中的条件与 $S_{i-1}+1\le x\le S_i$ 的情况下是否满足条件是等价的（因为 $S_i+1$ 恰好答案的是否的性质开始与之相同，直到 $x=S_i+1$，出界了）。注意，对于 $x\le S_1$ 和 $S_{|S|}+1\le x$ 的范围，由于头部位置足够远，绝对不满足问题描述中的条件。

因此，我们只需要判断 $2\le i\le |S|$ 的情况下，$x=S_i$ 时是否满足问题描述中的条件，然后答案增加 $S_i-S_{i-1}$即可。
枚举和排序集合 $S$ 的元素需要 $O(N^2\log N)$ 的时间复杂度，对每个元素进行判定的总时间为 $O(N^3)$（或 $O(N^3\log N)$）。因此，我们可以以足够快的速度解决这个问题。

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