背包

母题1：01背包

考虑 \(f[i,j]\) 表示前 \(i\) 个物品体积为 \(j\) 的答案，答案可以从前 \(i-1\) 个物品继承或选取当前物品，\(f[i,j]=\max(f[i-1][j],f[i-1][j-v]+w)\)。

母题2：完全背包（from 1）

状态同上，转移本来应该为 \(f[i,j]=\max(f[i-1][j-v]+w,f[i-1][j-2v]+2w,\dots,f[i-1][j-kv]+kw)\)（设 \(j-kv\ge 0,j-(k+1)v<0\)）。发现 \(f[i,j-v]=\max(f[i-1][j-2v]+w,f[i-1][j-3v]+2w,\dots,f[i-1][j-kv]+(k-1)w)\)，恰好是少了一个 \(w\)，于是我们可以用 \(f[i,j]=\max(f[i][j-v]+w)\)。

母题3：多重背包（from 1）

转移应该为 \(f[i,j]=\max(f[i-1,j-v]+w,f[i-1,j-2v]+2w,\dots,f[i-1,j-sv]+sw)\)（这里不管超出的情况）。

可以直接暴力，也有两种优化：

• 二进制优化，很好理解，对于一个物品若可选 \(5\) 个，可以拆成两个物品 \(1\) 倍和 \(4\) 倍，然后做 01 背包，带一只 \(\log\)。
• 单调队列优化，不好理解，就是对于 \(j\bmod v\) 同一个余数的情况一起处理，发现对于每种物品就是长度为 \(s\) 的定长滑动窗口求最值模型。

母题4：分组背包（from 1）

就是某些物品在一个组内，组内只能选其一。

转移可以用 \(f[i,j]=f[i-1,j-v_k]+w_k\)（注意，同一组的物品对应一个 \(i\)，这样从上一层转移可以保证不会出现一组内的物品选多个）。

母题5：有依赖的背包问题（from 4）

考虑树形 DP。

处理出子树内的答案，然后根节点必选，子树内就是分组背包，有体积那么大的个数在一组内。

母题6：树上背包

有点类似于5，但是一般是01背包。

母题7：退背包

根据物品插入无顺序，所以可以将要删去的数当作刚刚插入，就可以正着删除（因为是倒着插入）。

以上就是7个模型

变式1

类背包，表示状态类似于，体积变为余数，考虑 \(+,\times\)。01背包模型

2

用小的组合出大的，就是给定一些物品，问凑出的个数，考虑完全背包（母题2），改变一下属性为 bool。

需要简单证明结论的正确性，看上去比较显然。

3

本质还是背包，分类讨论，状态是由差值表示。01背包模型

4

利用背包求解博弈论，需要知道基本的必胜态、必败态。

然后考虑余数。01背包模型

5

01背包套矩阵快速幂。

6

母题6。

7

母题1，2的结合。

8

背包问题拆解成前后两个部分，第一部分类似于01背包，可以使用前缀和优化；第二部分还是01背包，维护差值。

9

通过期望的性质拆解贡献，配合最短路。

10

有点像背包，但是考虑到对称点的限制，我们需要新立状态，按照一对一对的点，而不是前多少个点。

11

首先是一个经典的线性DP的预处理，然后做一遍分组背包。

12

暴力枚举所有情况，分组背包即可。

总结

背包问题一般比较难的都是01背包（变式2很明显是完全背包，而且转移就是基本的转移，比母题还简单）。

题目中出现的数值可以成为“体积”。

转移有时需要分类讨论。

多种背包可能同时出现，一个背包问题可能可以拆解成好几个部分，两个部分有可能都是DP，也可能有一个是其他算法。

特征

可以明确的按照前几个物品算出答案，并且可以从题目中挖掘出体积。

定义

描述： 有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。第 i 件物品 的费用是 c[i]，价值是 w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

解析：\(N\) 件物品可以看做是有 \(N\) 种备选方案，容量为 \(V\) 的背包可以看做是成本为 \(V\)，\(c[i]\) 是每种方案的成本，价值是每种方案带来的效益。那么问题就变成了，在不超过总成本V的情况下，使用哪些备选方案，可以使效益最大。