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[ABC317F] Nim

这个问题可以通过数位动态规划（DP）来解决。

我们考虑以下的数位DP来确定从二进制表示的最低位开始的下一位：

$\mathrm{DP}[n][f_1][f_2][f_3][r_1][r_2][r_3]=$ 满足以下条件的整数组 $(x_1,x_2,x_3)$ 的个数：

• 对于所有 $i$，$0\le x_i<2^n$
• $x_1\oplus x_2\oplus x_3=0$
• 对于每个 $i$，"$x_i$ 在 $N\mathrm{\&}(2^n-1)$ 以下"的真假为 $f_i$
• 对于每个 $i$，$x_i$ 除以 $A_i$ 的余数为 $r_i$

这里，$\mathrm{\&}$ 表示按位与运算。也就是说，$N\mathrm{\&}(2^n-1)$ 表示 $N$ 的二进制表示的最低 $n$ 位的值。

通过尝试每个 $x_i$ 在二进制表示中从最低位开始的 $n$ 位的值（共 $2^3$ 种可能），我们可以从 $\mathrm{DP}[n][\ast ][\ast ][\ast ][\ast ][\ast ][\ast ]$ 推导出 $\mathrm{DP}[n+1][\ast ][\ast ][\ast ][\ast ][\ast ][\ast ]$。

根据给定的约束条件 $N<2^{60}$，$\mathrm{DP}[60][\mathrm{True}][\mathrm{True}][\mathrm{True}][0][0][0]$ 表示满足以下条件的整数组 $(x_1,x_2,x_3)$ 的个数：

• 对于所有 $i$，$0\le x_i\le N$
• $x_1\oplus x_2\oplus x_3=0$
• 对于每个 $i$，$x_i$ 是 $A_i$ 的倍数

所求答案是从第一个条件为 "对于所有 $i$，$1\le x_i\le N$" 的情况中减去得到的结果，即：

• 对于某个 $i$，$x_i=0$
• $x_1\oplus x_2\oplus x_3=0$
• 对于每个 $i$，$x_i$ 是 $A_i$ 的倍数

这个可以很容易地计算出来。（分别令 $x_1,x_2,x_3=0$，计算剩余二者的 $\text{lcm}$，最后算出来，注意还有三者均为 $0$）。

计算复杂度为 $O(\log N\prod A_i)$。

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