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SG函数

SG 函数

先定义，SG 函数对应有向无环图（DAG）上的一种游戏：有一枚棋子在起点上，每次可以沿着边往后移动，谁无法移动谁就输了。

公平组合游戏可以转换成他，只需要将局面中的所有状态看成一个节点，合法行动看成有向边。

判断必胜需要求解的就是起点的 SG。

对于终点（没有出边）， $S G = 0$ 。

对于其他点 $u$ ，设它的出去的点为 $v$ ，则 $S G (u) = m e x (S G (v_{1}), S G (v_{2}), \dots)$ 。

$m e x$ 表示没有出现的最小自然数，如 $m e x (2, 3) = 0, m e x (1, 0) = 2, m e x (0) = 1$ 。

然后对于起点，若 $S G = 0$ 必败，反之必胜。

证明：

全 $0$ 局面 $S G = 0$ 先手必败。
对于当前局面若 $S G \neq 0$ ，那么说明可以到达 $0$ ，走到 $S G = 0$ 的点上，那么抛给对手就是 $S G = 0$ 。
若 $S G = 0$ ,说明无法到达 $0$ ，那么只能给对手 $S G \neq 0$ 。

若先手局面为 $S G \neq 0$ ，那么他可以给对手为0，然后对手只能给他非0，最后对手肯定得到全0，必败，先手必胜。

反之，若为0，那么他只能给对手非0，对手给他0，最后他肯定得到全0，必败，后手必胜。

那有的同学肯定好奇：SG为什么不直接取0/1？

那是因为可能会出现多张有向图的情况，此时的结论同 nim：将各SG异或，如果为0，先手必败，否则必胜。

设总值为 $x$ 。

证明分三步，类似于 nim：

全 $0$ 局面 $x = 0$ 先手必败。
对于当前局面若 $x \neq 0$ ，存在某种方式将其变为 $0$ ：

考虑 $x$ 的最高的为 $1$ 二进制位（记为 $k$ ），原序列中肯定有至少一个（奇数个）图的SG第 $k$ 位为 $1$ 。（设为 $a_{i}$ ）所以 $a_{i} \oplus x < a_{i}$ （前面的位保持不变，然后第 $k$ 位变为 $0$ ，后面就算均增加也会减少）。那么由于 $m e x = a_{i}$ 时可以走到 $[1, a_{i})$ ，所以，让这个有向图走到 $S G = a_{i} \oplus x$ 的点上。那么新的异或值就是 $\oplus_{i = 1}^{n} a_{i} \oplus x = x \oplus x = 0$ ，抛给对手一个 $x = 0$ 的局面。
对于当前局面若 $x = 0$ ，不存在任何方式将其变为 $0$ ：

用反证法，假设存在某种方式，且走动的记为 $a_{i}$ ，那么有 $\oplus_{j = 1}^{n} a_{i} = 0$ ，且 $\oplus_{j = 1}^{i - 1} a_{j} \oplus a_{i}^{'} \oplus_{j = i + 1}^{n} a_{j} = 0$ ，两个式子异或，其余的数都消去，剩下 $a_{i} \oplus a_{i}^{'} = 0$ ，即 $a_{i} = a_{i}^{'}$ ，而 mex 定义为没有出现过的最小者，只能走到 $[1, a_{i})$ ，矛盾，所以不存在。

而当先手的局面 $x > 0$ 时，可以构造 $x = 0$ ，后手又给出 $x > 0$ 的局面，先手再给予 $x = 0$ 的局面 $\dots$ ，后手总是持有 $x = 0$ 的局面，而最终必败状态全 $0$ 就是 $x = 0$ ，所以后手必定会取到，即后手必败。

反之 $x = 0$ ，先手不管怎么搞 $x > 0$ ，后手再将其变为 $0$ ，所以先手总是持有 $x = 0$ 的局面，而最终必败状态全 $0$ 就是 $x = 0$ ，所以先手必定会取到，即先手必败。

所以，我们只需要计算异或和，判断是否等于零即可。

对于本题，只需要分堆考虑，对于每一堆，只需要将石子个数当作状态，然后考虑集合中可以取的（比如 $1, 2, 3$ ，那么就向 $x - 1, x - 2, x - 3$ 连边），求一遍 $S G$ 即可。

#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=110;
bool st[N];
int k,s[N],n,x,res,f[N*N];
int sg(int x){
    if(f[x])return f[x];
    vector<int>g;
    for(int i=1;i<=k;++i)
        if(x>=s[i])g.push_back(sg(x-s[i]));
    for(int v:g)st[v]=1;
    for(int i=0;;++i)
        if(!st[i]){
            for(int v:g)st[v]=0;
            return f[x]=i;
        }
}
int main(){
    scanf("%d",&k);
    for(int i=1;i<=k;++i)scanf("%d",s+i);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        int x;
        scanf("%d",&x);
        res^=sg(x);
    }
    if(res)puts("Yes");
    else puts("No");
    return 0;
}