nim游戏

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给出结论：将所有数异或，若结果为 $0$，先手必败，否则先手必胜。

设异或值为 $x$。

证明分三步：

1. 全 $0$ 局面先手必败。

2. 对于当前局面若 $x\ne 0$，存在某种方式将其变为 $0$：

   考虑 $x$ 的最高的为 $1$ 二进制位（记为 $k$），原序列中肯定有至少一个（奇数个）数第 $k$ 位为 $1$。（设为 $a_i$）所以 $a_i\oplus x<a_i$（前面的位保持不变，然后第 $k$ 位变为 $0$，后面就算均增加也会减少）。那么我么取走 $a_i-(a_i\oplus x)$，使得 $a_i\leftarrow a_i\oplus x$。那么新的异或值就是 ${\oplus }_{i=1}^n{a}_i\oplus x=x\oplus x=0$，抛给对手一个 $x=0$ 的局面。

3. 对于当前局面若 $x=0$，不存在任何方式将其变为 $0$：

   用反证法，假设存在某种方式，且取走的记为 $a_i$，那么有 ${\oplus }_{j=1}^n{a}_i=0$，且 ${\oplus }_{j=1}^{i-1}{a}_j\oplus a_i^{\prime }{\oplus }_{j=i+1}^n{a}_j=0$，两个式子异或，其余的数都消去，剩下 $a_i\oplus a_i^{\prime }=0$，即 $a_i=a_i^{\prime }$，而至少要取走一个，所以不存在任何方式。

而当先手的局面 $x>0$ 时，可以构造 $x=0$，后手又给出 $x>0$ 的局面，先手再给予 $x=0$ 的局面 $\dots$，后手总是持有 $x=0$ 的局面，而最终必败状态全 $0$ 就是 $x=0$，所以后手必定会取到，即后手必败。

反之 $x=0$，先手不管怎么搞 $x>0$，后手再将其变为 $0$，所以先手总是持有 $x=0$ 的局面，而最终必败状态全 $0$ 就是 $x=0$，所以先手必定会取到，即先手必败。

所以，我们只需要计算异或和，判断是否等于零即可。

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