[ABC314F]

A Certain Game

关于题目中的样例解释翻译如下：

将队伍中的球员编号表示为 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}$ 的队伍称为队伍 ${x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}}$ 。- 在第 1 场比赛中，球员 1 所属的队伍 ${1}$ 和球员 2 所属的队伍 ${2}$ 对战，队伍 ${1}$ 以 $\frac{1}{2}$ 的概率获胜，队伍 ${2}$ 以 $\frac{1}{2}$ 的概率获胜。然后，这两个队伍合并为一个队伍 ${1, 2}$ 。- 在第 2 场比赛中，球员 4 所属的队伍 ${4}$ 和球员 3 所属的队伍 ${3}$ 对战，队伍 ${4}$ 以 $\frac{1}{2}$ 的概率获胜，队伍 ${3}$ 以 $\frac{1}{2}$ 的概率获胜。然后，这两个队伍合并为一个队伍 ${3, 4}$ 。- 在第 3 场比赛中，球员 5 所属的队伍 ${5}$ 和球员 3 所属的队伍 ${3, 4}$ 对战，队伍 ${5}$ 以 $\frac{1}{3}$ 的概率获胜，队伍 ${3, 4}$ 以 $\frac{2}{3}$ 的概率获胜。然后，这两个队伍合并为一个队伍 ${3, 4, 5}$ 。- 在第 4 场比赛中，球员 1 所属的队伍 ${1, 2}$ 和球员 4 所属的队伍 ${3, 4, 5}$ 对战，队伍 ${1, 2}$ 以 $\frac{2}{5}$ 的概率获胜，队伍 ${3, 4, 5}$ 以 $\frac{3}{5}$ 的概率获胜。然后，这两个队伍合并为一个队伍 ${1, 2, 3, 4, 5}$ 。球员 1、2、3、4、5 在整个比赛中，他们所属的队伍获胜的事件发生次数的期望值分别为 $E_{1}, E_{2}, E_{3}, E_{4}, E_{5}$ ，它们分别为 $\frac{9}{10}, \frac{9}{10}, \frac{53}{30}, \frac{53}{30}, \frac{14}{15}$ 。

这道题看到就应该想到需要并查集。但是我们需要对于每个人，在他所在的任意时刻的集合的贡献累加到此人身上。发现这样的复杂度不好接受，比如 $n$ 个人和 $1$ 个人合并，那样的话复杂度为 $O (N^{2})$ ，无法接受。所以需要使用启发式合并，但是这样治标不治本，因为大集合依然要更新答案。这时可以对每个集合记录一个全体累加值，当小的合并过来时，暴力的对小集合中每个元素先加上原先的集合累加量，再加入本次合并产生的，由于本次合并大集合的贡献无效，所以减去（因为大集合的集合全体累加值将会加上本次合并大集合的贡献）。