扩展欧几里得算法
裴蜀定理
对于任意正整数 \(a,b\)，记 \(g=(a,b)\)，一定存在整数 \(x,y\)，使得 \(ax+by=g\)，且能凑出的数一定是 \(g\) 的倍数。（扩欧算法能直接解决的问题）
首先由于 \(a,b\) 都是 \(g\) 的倍数，所以能凑出的数必定是 \(g\) 的倍数。
关键在于怎么证明一定存在整数 \(x,y\)，使得 \(ax+by=g\)。
下面我们就抛出这个算法。
扩展欧几里得算法
首先引入欧几里得算法。
\(g=\gcd(b,a\bmod b)\)（不知道就回普及组来学的实在太强了）
若 \(b=0\)，则 \(g=a\)。
直接在欧几里得算法里添加内容。
我们从边界情况开始考虑。
当 \(b=0\) 时，要求 \(ax+by=ax=\gcd(a,0)=a\)，显然 \(x=1,y=0\) 是一组解。
我们在递归的时候将 \(x,y\) 翻转，于是就求得 \(by+(a\bmod b)x=\gcd(b,a\bmod b)=g\)。
根据余数的定义 \(a\bmod b=a-b\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor\)。
代入可得 \(by+(a-b\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor)x=g\)。
我们将 \(a,b\) 系数整理到一块儿。
\(ax+b(y-\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor x)=g\)。
发现这就是我们需要的形式，于是令 \(y=y-\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor x\)。
那怎么求多组解呢？
发现 \(a(x-\dfrac{b}{d})+b(y+\dfrac{a}{d})=ax+by\)。
那么我们据此可以推出所有的解。
令 \(x_0,y_0\) 表示我们求得的解。
则所有解 \(x=x_0-k\dfrac{b}{d},y=y+k\dfrac{a}{d}\)。
据此发现有无数个解。
关于 \(x\) 的最小非负整数解：一个负数加至少多少个正数能变成非负整数，等价于数学意义上的取模；在 C++ 中，可以先取模，再加，再取模。
扩欧直接应用
#include<cstdio>
using namespace std;
#define Ed for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
#define Ls(i,l,r) for(int i=l;i<r;++i)
#define Rs(i,l,r) for(int i=l;i>r;--i)
#define Le(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
#define Re(i,l,r) for(int i=l;i>=r;--i)
#define L(i,l) for(int i=0;i<l;++i)
#define E(i,l) for(int i=1;i<=l;++i)
#define W(t) while(t--)
#define Wh while
const int N=1;
int n;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(!b){
x=1,y=0;
return a;
}
int d=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return d;
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("1.in","r",stdin);
#endif
scanf("%d",&n);
W(n){
int a,b,x,y;
scanf("%d%d",&a,&b);
exgcd(a,b,x,y);
printf("%d %d\n",x,y);
}
return 0;
}
应用：求解 \(ax\equiv b\pmod{m}\)（当 \(b=1\) 时，\(x\) 为 \(a\) 的逆元）
题目传送门
考虑变形可得 \(ax=my+b\bmod m\)，也可以变为 \(ax=my+b\)（就是将部分的 \(m\) 给 \(b\)）。
得 \(ax-my=b\)。
令 \(y'=-y\)，\(ax+my'=b\)。
先用扩欧解 \(b=(a,m)\) 的情况，然后先判断是不是倍数，然后扩大 \(\dfrac{b}{(a,m)}\)。
#include<cstdio>
using namespace std;
#define Ed for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
#define Ls(i,l,r) for(int i=l;i<r;++i)
#define Rs(i,l,r) for(int i=l;i>r;--i)
#define Le(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
#define Re(i,l,r) for(int i=l;i>=r;--i)
#define L(i,l) for(int i=0;i<l;++i)
#define E(i,l) for(int i=1;i<=l;++i)
#define W(t) while(t--)
#define Wh while
const int N=1;
int n;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(!b){
x=1,y=0;
return a;
}
int d=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return d;
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("1.in","r",stdin);
#endif
scanf("%d",&n);
W(n){
// printf("n=%d\n",n);
int a,b,m,x,y;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&m);
int d=exgcd(a,m,x,y);
if(b%d)puts("impossible");
else printf("%lld\n",1ll*b*x/d%m);
}
return 0;
}
