扩展欧几里得算法

裴蜀定理

对于任意正整数 $a,b$，记 $g=(a,b)$，一定存在整数 $x,y$，使得 $ax+by=g$，且能凑出的数一定是 $g$ 的倍数。（扩欧算法能直接解决的问题）

首先由于 $a,b$ 都是 $g$ 的倍数，所以能凑出的数必定是 $g$ 的倍数。

关键在于怎么证明一定存在整数 $x,y$，使得 $ax+by=g$。

下面我们就抛出这个算法。

扩展欧几里得算法

首先引入欧几里得算法。

$g=gcd(b,amodb)$（不知道就回普及组来学的实在太强了）

若 $b=0$，则 $g=a$。

直接在欧几里得算法里添加内容。

我们从边界情况开始考虑。

当 $b=0$ 时，要求 $ax+by=ax=gcd(a,0)=a$，显然 $x=1,y=0$ 是一组解。

我们在递归的时候将 $x,y$ 翻转，于是就求得 $by+(amodb)x=gcd(b,amodb)=g$。

根据余数的定义 $amodb=a-b\lfloor {\displaystyle \frac{a}{b}}\rfloor$。

代入可得 $by+(a-b\lfloor {\displaystyle \frac{a}{b}}\rfloor )x=g$。

我们将 $a,b$ 系数整理到一块儿。

$ax+b(y-\lfloor {\displaystyle \frac{a}{b}}\rfloor x)=g$。

发现这就是我们需要的形式，于是令 $y=y-\lfloor {\displaystyle \frac{a}{b}}\rfloor x$。

那怎么求多组解呢？

发现 $a(x-{\displaystyle \frac{b}{d}})+b(y+{\displaystyle \frac{a}{d}})=ax+by$。

那么我们据此可以推出所有的解。

令 $x_0,y_0$ 表示我们求得的解。

则所有解 $x=x_0-k{\displaystyle \frac{b}{d}},y=y+k{\displaystyle \frac{a}{d}}$。

据此发现有无数个解。
关于 $x$ 的最小非负整数解：一个负数加至少多少个正数能变成非负整数，等价于数学意义上的取模；在 C++ 中，可以先取模，再加，再取模。

扩欧直接应用

#include<cstdio>
using namespace std;
#define Ed for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
#define Ls(i,l,r) for(int i=l;i<r;++i)
#define Rs(i,l,r) for(int i=l;i>r;--i)
#define Le(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
#define Re(i,l,r) for(int i=l;i>=r;--i)
#define L(i,l) for(int i=0;i<l;++i)
#define E(i,l) for(int i=1;i<=l;++i)
#define W(t) while(t--)
#define Wh while

const int N=1;
int n;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("1.in","r",stdin);
    #endif
    scanf("%d",&n);
    W(n){
        int a,b,x,y;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        exgcd(a,b,x,y);
        printf("%d %d\n",x,y);
    }
    return 0;
}

应用：求解 $ax\equiv b(\mathrm{mod}m)$（当 $b=1$ 时，$x$ 为 $a$ 的逆元）

题目传送门

考虑变形可得 $ax=my+bmodm$，也可以变为 $ax=my+b$（就是将部分的 $m$ 给 $b$）。

得 $ax-my=b$。

令 $y^{\prime }=-y$，$ax+m{y}^{\prime }=b$。

先用扩欧解 $b=(a,m)$ 的情况，然后先判断是不是倍数，然后扩大 ${\displaystyle \frac{b}{(a,m)}}$。

#include<cstdio>
using namespace std;
#define Ed for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
#define Ls(i,l,r) for(int i=l;i<r;++i)
#define Rs(i,l,r) for(int i=l;i>r;--i)
#define Le(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
#define Re(i,l,r) for(int i=l;i>=r;--i)
#define L(i,l) for(int i=0;i<l;++i)
#define E(i,l) for(int i=1;i<=l;++i)
#define W(t) while(t--)
#define Wh while

const int N=1;
int n;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("1.in","r",stdin);
    #endif
    scanf("%d",&n);
    W(n){
        // printf("n=%d\n",n);
        int a,b,m,x,y;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&m);
        int d=exgcd(a,m,x,y);
        if(b%d)puts("impossible");
        else printf("%lld\n",1ll*b*x/d%m);
    }
    return 0;
}