P5482 [JLOI2011] 不等式组

P5482 [JLOI2011] 不等式组

这道题比板子还是难不少，因为有大量的分类讨论。

看到题就可以考虑平衡树了。

$ax+b>c⟺ax>c-b$，根据不等式乘除法的变号规则分类。

1. $a>0$，不等号方向不变，$x>{\displaystyle \frac{c-b}{a}}$。
2. $a<0$，不等号方向改变，$x<{\displaystyle \frac{c-b}{a}}$。
3. $a=0$，$0>c-b⟺b>c$，特判。

对于情况3，我们考虑如果开始时就不满足就不管了（因为它没有贡献，删不删除无所谓）；如果满足，那么记录它是第三类，在删除时更新答案（对于可能重复删除的问题，开个数组记录一下；再弄两个数组，一个 all 表示是不是情况3，t 表示是不是情况1、2，比较简单）。

我们处理完了情况3，接下来看1、2。

由于用分数在转换成小数的时候很麻烦（当然你可以直接把分数放到平衡树里，但是板子要进行很大的改动），又考虑到查询时 $x$ 的取值均为整数，我们就可以考虑将分数等价为整数。

首先如果分数恰好整除，就不管。

比如 $x>{\displaystyle \frac{1}{2}}$，发现当 $x=1$ 时成立，当 $x=0$ 时不成立，而 $x>0$ 时条件恰好等价于此，于是发现了当 $x>?$ 这样的不等式，如果结果为分数，可以对其向下取整。

再举个小于号的例子。

比如 $x<{\displaystyle \frac{1}{2}}$，发现当 $x=1$ 时不成立，当 $x=0$ 时成立，而 $x<1$ 时条件恰好等价于此，于是发现了当 $x<?$ 这样的不等式，如果结果为分数，可以对其向上取整。（当然可以对称理解）

然后由于 C++ 的整除是向零取整，于是我们得自己搞一个。

首先如果是整数，特判；

其次，如果二者同号，结果为正，用一般的除法（此时 C++ 相当于向下取整），向上取整结果 $+1$。

如果异号，结果为负，用一般的除法（此时 C++ 相当于向上取整），向下取整结果 $-1$。

至此，搞定了条件转换。

然后我们考虑满足条件的要求。

用数轴进行理解。

对于大于条件，我们发现就是查询平衡树中小于 $x$ 的数的个数，这个就是排名减去一。

对于小于条件，我们发现就是查询平衡树中大于 $x$ 的数的个数，这个就是 $tot-(ran{k}_{x+1}-1)$个数，$tot$ 表示平衡树中数的个数，$(ran{k}_{x+1}-1)$ 恰好是平衡树中 $\le x$ 的数的个数。

至此，问题就变成了两棵平衡树，分别在它们中插入、删除，然后每次询问给定的数在两棵平衡树中的排名。

复杂度 $O(n\log n)$。