平衡树

【模板】普通平衡树&【模板】普通平衡树（数据加强版）

考虑最简单的平衡树——Treap（Tree+heap），从它的名字上就可以看出它是树和堆结合的产物。

那它究竟是怎么样呢？别着急，要研究它，必须研究它的基础版本——Binary Search Tree，二叉搜索树，简称BST。

简单来说，它需要满足对于任意一点，它的左子树内的任意点的点权均小于它的权值，右子树内的任意点的点权均大于它的权值。（不考虑重复元素）

它的中序遍历点权升序。

对于插入一个值，可以在BST中根据权值大小向左/右子树进入，最后插入在叶子节点。

删除操作太麻烦，不说了。

最坏情况下会退化成一条链。

Treap

下面正式进入正题。

我们首先给出一棵已经建立的合法的Treap：

如图，key表示实际权值，priority表示随机的优先级。

顾名思义，Treap不仅要满足BST的性质（对于key），还有满足二叉堆的性质（对于priority）（使用大根堆或小根堆均可）。

每个节点存储6个信息：

• 左儿子
• 右儿子
• 键值
• 随即优先级
• 数量
• 子树大小

最后两个主要处理与排名相关的操作。

然后就是左旋和右旋。

不想说了，参考这篇题解算了：https://blog.csdn.net/yanweiqi1754989931/article/details/117755252

代码

强调实现时的注意事项：

• mt19937 生成的随机数为无符号整型

• 插入、删除后记得上推更新

• 很多函数可以对称的写，如左旋/右旋，前驱/后继，

• 加强版 grank 找到不存在的点需要返回1，因为有可能这个值是大于已插入的所有数的

• 左旋右旋随便画个图就能一目了然

• 第 \(x\) 小的数在平衡树中的排名：\(x+1\)

• 第 \(x\) 大的数在平衡树中的排名：\(平衡树总点数-x\)