乘积最大

P1018 [NOIP2000 提高组] 乘积最大

我们直接先考虑 DP。

令 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个数，放置 $j$ 个乘号的答案。

我们考虑转移最后一个乘号的位置，设最后一个乘号放在第 $k$ 位和第 $k+1$ 位之间，可以得到方程 $f[i][j]=max(f[k][j-1]\times num[k+1:i])$，$num[l:r]$ 表示数字串中，$[l,r]$ 这一段的数字串对应的数字。

由于 __int128 的最大值仅仅只有大约 $1.7\times {10}^{38}$，而答案最大是 $9999999999999999999800000000000000000001$（大概估计：$40$ 个 $9$，然后对半是最大的，即 $20$ 个 $9$ 的平方，共 $40$ 位）。所以我们考虑要用高精度了。

可是我们不一定要这么老实，因为答案仅仅多了几位，我们可以尝试用几个 __int128 进行模拟高精度。

我发现如果按照正常的压位，那么最低位需要处理两个 __int128 类型相乘除以压的位数，这样会溢出，不好处理。

我们可以不老实一些，低位压到 $19$ 位（恰好是 unsigned long long 的数据规模，实际上比 long long 略大一点），高位不管位数（就是高位不需要按照 $19$ 位进制，直接存储除了低位外的所有值）然后最大的乘积就是 $({10}^{19}-1{)}^2$，没有达到 __int128 的上限，乘法由于只有 $4$ 位，很好实现，具体看代码。

还有需要注意的是 $num[l:r]$，为了优化复杂度，我们可以先用 $O(n^2)$ 预处理，预处理时只需要写一个简单的高精乘10加数即可（可以线性预处理，但是需要实现减法）。

DP 的复杂度为 $O(n^{2}k)$。

code