树上计数2

[树上计数2](2534. 树上计数2 - AcWing题库)

我们先考虑一般的问题，即序列上的问题。

发现这题是HH的项链。

然后我们考虑树上怎么转换成序列上。

我们使用欧拉序（对于每个点，在进入和离开时各记录一次，类比 dfs 序）。

对于点 \(u\)，令 \(fi_u,ls_u\) 表示进入/出去的时间戳。如图（样例）

欧拉序

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 4 8 8 4 3 7 7 6 6  5  5  3  2  2  1

可以对应一下下标。

然后我们分两类来讨论：

1. 若某条路径满足是树上从上到下的一条路径，若 \((u,v)\)，令 \(u\) 为进入欧拉序更小的点，那么 \(u\) 就是 \(v\) 的祖先。此时，我们可以取出 \([fi_u,fi_v]\) 中出现次数恰好一次的点，可以发现就是路径上的点（如 \((1,5)\)，对应区间 \((1,11)\)，出现次数为 \(1\) 的为 \(1,3,5\)，因为只要分叉出去的点都有两次）。
2. 否则，我们取出 \([ls_u,fi_v]\)，发现除了 \(LCA(u,v)\) 外，所有路径上的点都出现恰好一次（如 \((2,5)\)，对应 \([4,6]\)，缺 \(1\)，再如 \((8,5)\)，对应 \([4,11]\)，缺 \(1\)，再如 \((5,6)\)，对应 \([10,11]\)，缺 \(3\)），此时特殊处理 LCA 即可。

然后问题被转换为区间询问出现次数为 \(1\) 的数的权值种类个数。

我们可以维护一个 st 表示每个数出现的次数奇偶性，cnt 同HH的项链存储权值。每次加入数、删除数，我们发现都可以根据奇偶性的变化来看：

1. 奇数变偶数，\(1->2,1->0\)，反正都是去掉了。
2. 偶数变奇数，\(2->1,0->1\)，反正都是加上了。

对于插入和删除，我们都可以根据这两种情况执行”加入“、”删除“。

转换的复杂度是线性，而序列的长度恰好为原树点数的两倍，所以时间复杂度还是 \(O(n\sqrt m)\)。

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