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树上计数2

[树上计数2](2534. 树上计数2 - AcWing题库)

我们先考虑一般的问题,即序列上的问题。

发现这题是HH的项链。

然后我们考虑树上怎么转换成序列上。

我们使用欧拉序(对于每个点,在进入和离开时各记录一次,类比 dfs 序)。

对于点 u,令 fiu,lsu 表示进入/出去的时间戳。如图(样例)

image-20230805181223795

欧拉序

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 4 8 8 4 3 7 7 6 6  5  5  3  2  2  1

可以对应一下下标。

然后我们分两类来讨论:

  1. 若某条路径满足是树上从上到下的一条路径,若 (u,v),令 u 为进入欧拉序更小的点,那么 u 就是 v 的祖先。此时,我们可以取出 [fiu,fiv] 中出现次数恰好一次的点,可以发现就是路径上的点(如 (1,5),对应区间 (1,11),出现次数为 1 的为 1,3,5,因为只要分叉出去的点都有两次)。
  2. 否则,我们取出 [lsu,fiv],发现除了 LCA(u,v) 外,所有路径上的点都出现恰好一次(如 (2,5),对应 [4,6],缺 1,再如 (8,5),对应 [4,11],缺 1,再如 (5,6),对应 [10,11],缺 3),此时特殊处理 LCA 即可。

然后问题被转换为区间询问出现次数为 1 的数的权值种类个数。

我们可以维护一个 st 表示每个数出现的次数奇偶性,cnt 同HH的项链存储权值。每次加入数、删除数,我们发现都可以根据奇偶性的变化来看:

  1. 奇数变偶数,1>2,1>0,反正都是去掉了。
  2. 偶数变奇数,2>1,0>1,反正都是加上了。

对于插入和删除,我们都可以根据这两种情况执行”加入“、”删除“。

转换的复杂度是线性,而序列的长度恰好为原树点数的两倍,所以时间复杂度还是 O(nm)

code

本文作者:wscqwq

本文链接:https://www.cnblogs.com/wscqwq/p/17608384.html

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