Tarjan(scc)

Tarjan 算法之一是一个强连通分量算法，可以找出所有的强连通分量，时间复杂度线性。

算法中对于搜索树（如下图）作了如下定义：

1. 树枝边，即父亲与孩子的边，如 $(x,y)$。
2. 前向边，即祖先到孩子的边，如 $(z,y)$。（树枝边属于特殊的前向边）
3. 后向边，即孩子到祖先的边，如 $(y,z)$。（与前向边相反）
4. 横叉边，当前点到已经结束的搜索分支，如 $(y,a)$。（紫色部分表示已经结束的分支）

然后一个点在某个强连通分量内的情况：

1. 走了一条后向边。
2. 走了一条横叉边，再走了一条后向边。

我们定义 $df{n}_u$ 表示 $u$ 的 $dfs$ 序，$lo{w}_u$ 表示其子树内向上走后向边/横叉边能到达的最小 $dfn$。

二者的体现就是就在于走的边 $(u,v)$ 满足 $df{n}_v<df{n}_u$。

直观的感性理解：对于 $lo{w}_u==df{n}_u$，它无法向上走到任何点，说明它就是所在强连通分量的顶端，此时我们可以弹栈获取这个强连通分量（直到栈顶等于当前点 $u$）。

栈中存储的是目前还没有完全找出的强连通分量。

void tarjan(int x){
    dfn[x]=low[x]=++now;
    in[x]=1;//表示在栈中
    stk[++top]=x;
    Ed{
        int j=e[i];
        if(!dfn[j]){
            tarjan(j);
            low[x]=min(low[x],low[j]);//由于是子节点，那么属于子树的范畴
        }
        else if(in[j])low[x]=min(low[x],dfn[j]);//由于是后向边/横叉边，所以不能再走，只能走到dfn（实际上写low好像也是对的）
    }
    if(low[x]==dfn[x]){//完整的强连通分量出现
        ++scc_cnt;
        int y;
        do{
            y=stk[top--];
            in[y]=0;
            id[y]=scc_cnt;//表示每个点属于哪个强连通分量
        }while(y!=x);
    }
}
int main(){
	E(i, n)
        if(!dfn[i])
            tarjan(i);//注意图可能不连通
}

经典例题：P2341 [USACO03FALL / HAOI2006] 受欢迎的牛 G

考虑先求强连通分量，这样一个强连通分量内的点就是两两喜欢，那么它们就同呼吸、共命运，要么都是明星，要么都不是。

我们定义缩点为一个强连通分量内的点视作一个点（原来再两个强连通分量之间的边保留，在一个强连通分量的边删去，并保留新点中有几个原点）。

此时若存在明星，必定证明只有一个点没有出边（如果超过 $1$ 个，那么它们几个之间必然没有边，那么就不满足所有人都喜欢）。

所以我们不需要建图，只需要检查出度为 $0$ 的点数即可。

代码

结论：对于一个有向图，加最少几条边可以边乘强连通分量？

• 入度为1与出度为1的点个数最大值