ORSum

ABC291G OR Sum

题意：有两个长度为 $N$ 的序列 $A,B$，可以给 $A$ 序列向左循环移动若干位，求 $\sum (A_i|B_i)$ 的最大值。$N\le 5\times {10}^5$ 而 $0\le A_i,B_i\le 31$。

题解：发现 or 操作有点点困难，那么我们就把两个序列取反，然后求 and 的最小值。

尝试形式化枚举每个移动数量的过程，比如枚举一个移位 $j$，再枚举一个 $i$ 计算答案。

这种位数特别少的题，就先枚举二进制位 $k$，对于每一位分别处理。设 $a,b$ 分别为序列 $A,B$ 的第 $k$ 位取反。

然后就是两个 0/1 序列合并操作，我们需要求出一个答案数组 $c$，$c_j=\sum a_i\times b_{(i+j)\mathrm{\%}n}$。

我们可以把 $b$ 复制一遍，去掉取模 $n$，问题就变成了求 $c_j=\sum a_i\times b_{i+j}$。

这个形式还不是我们熟悉的形式，我们应该熟悉的形式是 $c_{i+j}=\sum a_i\times b_j$。

怎么办呢？拿 $k$ 替换 $(i+j)$，问题就变成了 $c_{k-i}=\sum a_i\times b_k$。

左边式子 $i$ 符号负的不好看，问题就变成了 $c_{k+i}=\sum a_{-i}\times b_k$。

右边下标为负数的很不好看，因为我们需要存储 $a$ 数组，所以把 $a$ 数组反转（？）得到 $a^{\prime }$ 了，就是原来的存储 $a_{-i}$ 的数组右移 $n-1$ 位。

令 $p=n-1-i$，原式= $c_{k+p}=\sum a_p^{\prime }\times b_k$。由上可知，多项式实际的值只有 $[n-1,2n-2]$ 的这 $n$ 位才有效。

发现就是多项式的形式，直接卷积即可。

时间复杂度 $O(n\log n)$。

至于FFT，虽然学习过，我还是不太了解，以后补。

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