TripleIndex

[ABC293G] Triple Index

借本题来描述一下莫队算法。

莫队算法是将询问离线排序，使得时间复杂度控制在 $n\sqrt{n}$ 的量级。

首先考虑暴力做法，每次对于一个询问，将询问中的区间内的数依次加入桶中，第一次出现答案增加一，询问完清空，复杂度 $O(qn)$。

考虑一个稍快的做法，将所有询问按照右端点排序，并且利用上次右端点的信息，这样右端点的移动次数可以控制在 $O(n)$，但左端点最坏情况依然是 $O(n^2)$。

我们可以考虑将原数组分成 $\sqrt{n}$ 块，然后对所有询问先按照左端点所在的块排序，若同块中则按照右端点从小到大排序①，然后再执行，可以发现右端点在同块中恰好是从左移到右（当然需要从上次末尾的位置移到开头，2倍常数），所以共 $n\sqrt{n}$ 次，左端点移动 $q$ 次，每次在块内移动距离 $\le \sqrt{n}$，跨块一次最多 $2\sqrt{n}$，最多跨块 $\sqrt{n}$ 次，所以左端点移动 $q\sqrt{n}+2n$，单次移动 $O(1)$ 修改，复杂度 $O(n\sqrt{n}+q\sqrt{n})$。

实际上，设块长为 $A$，共 $n/A$ 块，则右端点次数 $n^2/A$，左端点 $qA$，令 $n^2/A=qA$，所以当块长取到 $\sqrt{n^2/q}$ 时最优。

还有一个对①的常数优化，就是根据块的奇偶性排序，如果是奇数按照右端点从小到大，否则从大到小，这个道理很简单，如图

对于不优化，那么右端点的行动路线如蓝色轨迹，优化后如绿色轨迹。（这样对于右端点的优化，可以使其少走一半的路径）

考虑此题，我们其实只需要记录每个数出现了多少次就够了。

每次增加一个数，设原来的个数为 $x$，实际上答案会增加 $C_{x+1}^3-C_x^3$，即增加 ${\displaystyle \frac{x(x-1)}{2}}$。

每次减少一个数，设修改后的的个数为 $x$，实际上答案会减少 $C_{x+1}^3-C_x^3$，即减少 ${\displaystyle \frac{x(x-1)}{2}}$。

复杂度 $O(\sqrt{n^2/q}\times q)=O(\sqrt{n^{2}q})=O(n\sqrt{q})$。

代码