SimultaneousSwap

[ABC296F] Simultaneous Swap

首先，若对 $a_i$ 和 $b_i$ 排序后，$a_i$ 和 $b_i$ 仍不相同，则一定不行。

注意到有：

$a_i=ABC$，换 $AC$

$b_i=ABC$，换 $AB$

变为

$a_i=CBA$，换 $CA$

$b_i=BAC$，换 $AC$

变为

$a_i=ABC$

$b_i=BCA$

对于某个 $(i,j,k)(i<j<k)$，能够通过两次操作，做到 $(a_i,a_j,a_k)$ 不变，而 $(b_i,b_j,b_k)$ 轮换，即：$(b_i,b_j,b_k)\to (b_j,b_k,b_i)$。

考虑这种操作逆序对的奇偶性变化。

若为 $3$ 个不同的

关系 $2,3$ 不变，关系 $(1,3),(1,2)$ 恰好反了，所以分别 $\pm 1,\pm 1$，共 $0,2,-2$ 三种变化量。

如果有任意两个元素相等时：

可以发现可以使奇偶性不变（最后一种情况可以转换到前面的）。

于是我们只需要检验是否有相同元素，有相同的一定有解。

除此之外，若二者逆序对奇偶性相同，那么有解。

否则，无解。

至于这样为什么是对的，待我进一步探究证明过于复杂(bushi（有点类似于八数码的局面无解问题，只能这样理解了(bushi）。

AC