MinimumBoundingBox2

[ABC297F] Minimum Bounding Box 2

考虑解决一个稍简单的问题。

给你一个 $n\times m$ 的矩形棋盘，要在上面放 $k$ 个棋子，使得矩形 $4$ 条边上都要有至少一个棋子。问方案数。

样例输入：

2 2 2

样例输出：

2

总方案数 $C_{n\times m}^k$。

发现不好做，我们于是试着求解 $4$ 边上只要有一边上没有棋子的方案数。

发现这是四个非条件的并，那么就可以用容斥原理了。

下文用“上”来代指“如果上边没有棋子”（其他同理），并省略“那么棋子的摆放方案数为”。

1. 一条边上没有棋子

   • 上，下，$2C_{(n-1)\times m}^k$（水平方向长 $m$，垂直方向长 $n$）；
   • 左，右， $2C_{n\times (m-1)}^k$

   总方案数是 $2(C_{(n-1)\times m}^k+C_{n\times (m-1)}^k)$。记为 $A$。

2. 两条边上没有棋子

   • 上下，$C_{(n-2)\times m}^k$
   • 左右，$C_{n\times (m-2)}^k$
   • (上/下)(左/右)，$4C_{(n-1)\times (m-1)}^k$

   总方案数是 $C_{(n-2)\times m}^k+C_{n\times (m-2)}^k+4C_{(n-1)\times (m-1)}^k$。记为 $B$。

3. 三条边上没有棋子

   • 上，下，左/右，$2C_{(n-2)\times (m-1)}^k$
   • 左，右，上/下，$2C_{(n-1)\times (m-2)}^k$

   总方案数是 $2(C_{(n-2)\times (m-1)}^k+C_{(n-1)\times (m-2)}^k)$。记为 $C$。

4. 四条边上没有棋子，总方案数：$C_{(n-2)\times (m-2)}^k$。记为 $D$。

5. 所以非法方案数为 $A-B+C-D$，合法就是 $C_{n\times m}^k-A+B-C+D$。

考虑题目问的是期望，我们可以枚举随机矩形的长、宽，然后使其满足 $4$ 条边上都要有至少一个棋子。

然后这个矩形设长为 $i$，宽为 $j$，可以出现的位置恰好是 $(n-i+1)(m-j+1)$，乘上其面积还有出现概率，最后除以总概率。

AC