MinimumBoundingBox2

[ABC297F] Minimum Bounding Box 2

考虑解决一个稍简单的问题。

给你一个 n×m 的矩形棋盘,要在上面放 k 个棋子,使得矩形 4 条边上都要有至少一个棋子。问方案数。

样例输入:

2 2 2

样例输出:

2

总方案数 Cn×mk

发现不好做,我们于是试着求解 4 边上只要有一边上没有棋子的方案数。

发现这是四个非条件的并,那么就可以用容斥原理了。

下文用“上”来代指“如果上边没有棋子”(其他同理),并省略“那么棋子的摆放方案数为”。

  1. 一条边上没有棋子

    • 上,下,2C(n1)×mk(水平方向长 m,垂直方向长 n);
    • 左,右, 2Cn×(m1)k

    总方案数是 2(C(n1)×mk+Cn×(m1)k)。记为 A

  2. 两条边上没有棋子

    • 上下,C(n2)×mk
    • 左右,Cn×(m2)k
    • (上/下)(左/右),4C(n1)×(m1)k

    总方案数是 C(n2)×mk+Cn×(m2)k+4C(n1)×(m1)k。记为 B

  3. 三条边上没有棋子

    • 上,下,左/右,2C(n2)×(m1)k
    • 左,右,上/下,2C(n1)×(m2)k

    总方案数是 2(C(n2)×(m1)k+C(n1)×(m2)k)。记为 C

  4. 四条边上没有棋子,总方案数:C(n2)×(m2)k。记为 D

  5. 所以非法方案数为 AB+CD,合法就是 Cn×mkA+BC+D

考虑题目问的是期望,我们可以枚举随机矩形的长、宽,然后使其满足 4 条边上都要有至少一个棋子。

然后这个矩形设长为 i,宽为 j,可以出现的位置恰好是 (ni+1)(mj+1),乘上其面积还有出现概率,最后除以总概率。

AC

本文作者:wscqwq

本文链接:https://www.cnblogs.com/wscqwq/p/17591544.html

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