生成函数

生成函数

生成函数是一种将一个序列映射成一个多项式的方式，具体而言，对于无限/有限序列 $a_1,a_2,\dots ,a_n,\dots$，记 $g(x)=a_1+a_{2}x+a_3{x}^2+\cdots +a_n{x}^n+\dots$，则 $g(x)$ 为原序列的生成函数。

生成函数可以用于解决一些计数问题，它可以利用乘法原理。

例如有 $1g,2g,4g$ 砝码，问拼凑的质量及其对应方案。

对于 $1g$ 砝码的生成函数：$1+x$。

对于 $2g$ 砝码的生成函数：$1+x^2$​。

对于 $3g$ 砝码的生成函数：$1+x^3$。

乘起来，展开后对应的几次项系数就是拼凑出来的方案，例如有项 $2x^3$，则拼凑出 $3$ 有两种方案。

当然上面是有限的情况，可以是无限的。

小应用

求解 $x_1+x_2+x_3\cdots +x_n=k$ 的非负整数解个数。

这个已经很经典了，令 $y_i=x_i+1$，变形为 $y_1+y_2+y_3\cdots +y_n=k+n$。

转化为有 $k+n$ 个小球，在它们之间插入 $n-1$ 个隔板分成 $n$ 部分，因为有 $k+n-1$ 个槽，所以方案数 $C_{k+n-1}^{n-1}$。

而用生成函数：

每个 $x$ 都可以有任意多个小球，即任意的 $x_i$，生成函数为 $1+x+x^2+x^3+\cdots ={\displaystyle \frac{1-x^n}{1-x}}$（等比数列求和），由于无限个，所以 $x^n$ 趋于 $0$，变为 ${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$。

所以总的生成函数为 ${\displaystyle \frac{1}{(1-x{)}^n}}$，展开后若需要总和为 $k$，则 $x^k$ 的系数应该就是一一对应的，为 $C_{k+n-1}^{n-1}$。

[例题]食物

• 承德汉堡：偶数个。

$1+x^2+x^4+\cdots ={\displaystyle \frac{1-x^n}{1-x^2}}={\displaystyle \frac{1}{1-x^2}}$

• 可乐：$0$ 个或 $1$ 个。

$1+x={\displaystyle \frac{1-x^2}{1-x}}$。

• 鸡腿：$0$ 个，$1$ 个或 $2$ 个。

$1+x+x^2={\displaystyle \frac{1-x^3}{1-x}}$。

• 蜜桃多：奇数个。

$x+x^3+x^5+\cdots =x(1+x^2+x^4+\dots )={\displaystyle \frac{x}{1-x^2}}$

• 鸡块：$4$ 的倍数个。

$1+x^4+x^8+\cdots ={\displaystyle \frac{1}{1-x^4}}$。

• 包子：$0$ 个，$1$ 个，$2$ 个或 $3$ 个。

$1+x+x^2+x^3={\displaystyle \frac{1-x^4}{1-x}}$。

• 土豆片炒肉：不超过一个。

$1+x={\displaystyle \frac{1-x^2}{1-x}}$。

• 面包：$3$ 的倍数个。

$1+x^3+x^6+\cdots ={\displaystyle \frac{1}{1-x^3}}$。

接下来乘起来消消乐可得 $x\times {\displaystyle \frac{1}{(1-x{)}^4}}$。

生成函数为 $x\sum _{n=0}^{inf}{a}_n{x}^n=x\sum _{n=0}^{inf}{C}_{n+4-1}^{4-1}{x}^n=\sum _{n=0}^{inf}{C}_{n+3}^3{x}^{n+1}$。

要求取到 $x^N$ 时的答案，就是看前面的 $n=N-1$，代入 $C_{n+3}^3=C_{N+2}^3={\displaystyle \frac{(N+2)(N+1)N}{6}}$。

对应高精度，没有必要，读入时乘加时模即可（相当于把数拆解成了 ${10}^n$ 的形式，而加、乘满足取模的封闭性）。

AC