光之大陆

光之大陆

题意翻译

给定 \(n\) 个点，将它们分成几个部分，使得每个部分构成一个简单环，在这些环之间连边，使其构成一颗生成树，环上无重边，问方案数。

\(n\le 200\)。

思路

考虑本题的两个过程：

1. 首先求解将 \(n\) 个点分成 \(i\) 个部分的方案数，这可以用 DP 解决。令 \(f[i][j]\) 表示将前 \(i\) 个点分成 \(j\) 个部分的方案数。转移，考虑有 \(k\) 个点和 \(i\) 号点在一个集合，则可以从 \(f[i-k][j-1]\) 转移（当然需要保证至少有 \(j\) 个集合，所以 \(\max k\) 为 \(i-(j-1)=i-j+1\)），考虑从 \(i-1\) 个点中任选 \(k-1\) 个与 \(i\) 一组，然后再考虑这一组的排列方式，发现是一个圆排列，方案数为 \(\dfrac{k!}{2k}\)，表示排列后方向（顺时针逆时针 \(\div 2\)）、旋转同构（最小表示法的一定的若干个排列 \(\div k\)），但要考虑连出去的点是什么，\(\times k=\dfrac{k!}{2}\)，注意一个点只有一种方案，且两个点无法构成环，没有方案（因为这样会导致重边）。转移为 \(f[i][j]+=f[i-k][j-1]\times\dfrac{k!}{2}\times C_{i-1}^{k-1}\)，可以预处理组合数和圆排列，预处理时特殊处理 \(k=1/2\) 的情况。
2. 确定分成几个部分后，考虑几个环构成一颗生成树的方案数。设有 \(m\) 个环（与题目中的 \(m\) 无关）可以转换成有 \(m-2\) 个位置的 prufer 序列。发现由于是环，所以环与环之间连环上的哪些点的边是无所谓的，共 \(n^{m-2}\)。

结果就是 \(\sum_{i=2}^nf[n][i]\times n^{i-2}+\dfrac{n!}{2n}\)，后者为特判 \(i=1\)，因为此时不在乎连出去的点，所以方案数无需 \(\times k\)。

复杂度 \(O(n^3)\)。

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