光之大陆

光之大陆

题意翻译

给定 $n$ 个点，将它们分成几个部分，使得每个部分构成一个简单环，在这些环之间连边，使其构成一颗生成树，环上无重边，问方案数。

$n\le 200$。

思路

考虑本题的两个过程：

1. 首先求解将 $n$ 个点分成 $i$ 个部分的方案数，这可以用 DP 解决。令 $f[i][j]$ 表示将前 $i$ 个点分成 $j$ 个部分的方案数。转移，考虑有 $k$ 个点和 $i$ 号点在一个集合，则可以从 $f[i-k][j-1]$ 转移（当然需要保证至少有 $j$ 个集合，所以 $maxk$ 为 $i-(j-1)=i-j+1$），考虑从 $i-1$ 个点中任选 $k-1$ 个与 $i$ 一组，然后再考虑这一组的排列方式，发现是一个圆排列，方案数为 ${\displaystyle \frac{k!}{2k}}$，表示排列后方向（顺时针逆时针 $÷2$）、旋转同构（最小表示法的一定的若干个排列 $÷k$），但要考虑连出去的点是什么，$\times k={\displaystyle \frac{k!}{2}}$，注意一个点只有一种方案，且两个点无法构成环，没有方案（因为这样会导致重边）。转移为 $f[i][j]+=f[i-k][j-1]\times {\displaystyle \frac{k!}{2}}\times C_{i-1}^{k-1}$，可以预处理组合数和圆排列，预处理时特殊处理 $k=1/2$ 的情况。
2. 确定分成几个部分后，考虑几个环构成一颗生成树的方案数。设有 $m$ 个环（与题目中的 $m$ 无关）可以转换成有 $m-2$ 个位置的 prufer 序列。发现由于是环，所以环与环之间连环上的哪些点的边是无所谓的，共 $n^{m-2}$。

结果就是 $\sum _{i=2}^{n}f[n][i]\times n^{i-2}+{\displaystyle \frac{n!}{2n}}$，后者为特判 $i=1$，因为此时不在乎连出去的点，所以方案数无需 $\times k$。

复杂度 $O(n^3)$。

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