Prufer序列

P6086 【模板】Prüfer 序列

Prüfer 序列可以将树的计数问题转化为序列，而且可以和树实现 $O(n)$ 互相转换。

Prüfer 序列定义：对于一颗无根树，每次选择一个编号最小的叶子节点（定义为度为 $1$ 的点），记录它的父节点，直到最后只剩下两个点（因为节点 $n$ 一定不会被删，是个常量，没有必要记录）。

二者是唯一对应的。

转换方法

Prüfer 转树

显然可以带 $\log$ 转换，但是有 $O(n)$ 的方法。

考虑维护一个变量 $j$ 表示现在已知的最小的编号的叶子节点，逐步增加，遇到第一个叶子节点时：

1. 加入序列。
2. 查看其父亲的编号是否小于它且成为叶子节点，如果小于加入其父亲，不断往上迭代。

由于每次循环 Prüfer 序列长度都会增加 $1$，所以复杂度显然。

树转 Prüfer

类似做法。

除 $n$ 外，每个节点的度为它在 Prüfer序列中出现的次数。

同上，遇到情况时的区别：

1. 更新父亲。
2. 同上2.。

code