YetAnotherRGBSequence

[ABC266G] Yet Another RGB Sequence

为了方便将 $r,g,b$ 替换为 $a,b,c$。考虑可以将 $a-=k,b-=k$，就变为 $a-k$ 个 $a$，$b-k$ 个 $b$，$c$ 个 $c$，$k$ 个 $ab$，（这里我们已经将 $a,b$ 减去 $k$，下文的 $a,b$ 均指代减去后的结果）然后求排列总数，使得不构成新的 $ab$。

首先由于之后 $b$ 会导致形成新的 $ab$，所以可以先放置 $a,c,ab$，方案数为 ${\displaystyle \frac{(a+c+k)!}{a!c!k!}}$。

然后考虑 $b$ 的放置，发现可以放在 $ab,c$ 后面或者最前面均可，共 $c+k+1$ 个位置可插入（注意对于 $ab,c$ 后，如果插了一个 $b$，可以继续插），所以等价成了如下方程，进行如下推导：

$\begin{array}{}\text{(1)}& x_1+x_2+\cdots +x_{c+k+1}=b\text{(2)}& \mathrm{\forall }i,1\le i\le c+k+1,x_i\ge 0\text{(3)}& (x_1+1)+(x_2+1)+\cdots +(x_{c+k+1}+1)=b+c+k+1\text{(4)}& \mathrm{\forall }i,1\le i\le c+k+1,x_i+1\ge 1\text{(5)}& \mathrm{问}\mathrm{题}\mathrm{被}\mathrm{等}\mathrm{价}\mathrm{为}\mathrm{有}b+c+k+1\mathrm{个}\mathrm{小}\mathrm{球}，\mathrm{插}\mathrm{入}\mathrm{隔}\mathrm{板}\mathrm{划}\mathrm{分}\mathrm{为}c+k+1\mathrm{段}。\text{(6)}& \mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{发}\mathrm{现}\mathrm{相}\mathrm{当}\mathrm{于}\mathrm{在}b+c+k\mathrm{个}\mathrm{空}\mathrm{隙}\mathrm{中}\mathrm{插}\mathrm{入}c+k，\mathrm{方}\mathrm{案}\mathrm{数}\mathrm{就}\mathrm{是}{C}_{b+c+k}^{c+k}\end{array}$

答案为 ${\displaystyle \frac{(a+c+k)!}{a!c!k!}}\times C_{b+c+k}^{c+k}$。

1 0 1 1

AC