YetAnotherRGBSequence
[ABC266G] Yet Another RGB Sequence
为了方便将 \(r,g,b\) 替换为 \(a,b,c\)。考虑可以将 \(a-=k,b-=k\)，就变为 \(a-k\) 个 \(a\)，\(b-k\) 个 \(b\)，\(c\) 个 \(c\)，\(k\) 个 \(ab\)，（这里我们已经将 \(a,b\) 减去 \(k\)，下文的 \(a,b\) 均指代减去后的结果）然后求排列总数，使得不构成新的 \(ab\)。
首先由于之后 \(b\) 会导致形成新的 \(ab\)，所以可以先放置 \(a,c,ab\)，方案数为 \(\large\dfrac{(a+c+k)!}{a!c!k!}\)。
然后考虑 \(b\) 的放置，发现可以放在 \(ab,c\) 后面或者最前面均可，共 \(c+k+1\) 个位置可插入（注意对于 \(ab,c\) 后，如果插了一个 \(b\)，可以继续插），所以等价成了如下方程，进行如下推导：
\(\Large\begin{eqnarray}x_1+x_2+\dots +x_{c+k+1}=b\\\forall i,1\le i\le c+k+1,x_i\ge0\\(x_1+1)+(x_2+1)+\dots +(x_{c+k+1}+1)=b+c+k+1\\\forall i,1\le i\le c+k+1,x_i+1\ge1\\问题被等价为有 b+c+k+1 个小球，插入隔板划分为 c+k+1 段。\\可以发现相当于在 b+c+k 个空隙中插入 c+k，方案数就是 C_{b+c+k}^{c+k}\end{eqnarray}\)
答案为 \(\large\dfrac{(a+c+k)!}{a!c!k!}\times C_{b+c+k}^{c+k}\)。
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