EveryWhereIsSparserThanWhole(Construction)

[ARC161D] Everywhere is Sparser than Whole (Construction)

构造题，重在思路，代码不难。

考虑有一个性质，既然部分比整体更稀疏，那么需要每个点的入度都 $>d$，因为这样删去之后 $÷(n-1)$ 才会减小。形式化的说，需要满足

$$\begin{gathered} \mathrm{记}cnt=min({\mathrm{度}}_i(1\le i\le n)) \\ d>{\displaystyle \frac{nd-cnt}{n-1}} \end{gathered}$$

解得 $cnt>d$。

然后构造方案方案如下：

一个有 $N$ 个顶点的简单无向图最多只能有 $\frac{N(N-1)}{2}$ 条边，因此当 $D>\frac{N-1}{2}$ 时，答案为 No。反之，当 $D\le \frac{N-1}{2}$ 时，答案为 Yes。例如，对于每个 $i=1,2,\dots ,N$ 和每个 $k=1,2,\dots ,D$，可以连接顶点 $i$ 和顶点 $(i+k)$（如果 $i+k>N$，则连接顶点 $(i+k-N)$），这样就可以得到一个满足条件的简单无向图。

简单证明没有矛盾。

假设存在自环或平行边，则存在 $i_1,i_2\in \{1,2,\dots ,N\}$ 和 $k_1,k_2\in \{1,2,\dots ,D\}$，使得

$$i_1+k_1\equiv i_2,i_2+k_2\equiv i_1(\mathrm{mod}N)$$

（自环的情况下 $i_1=i_2$，平行边的情况下 $i_1\ne i_2$）
将两式相加并整理得

$$k_1+k_2\equiv 0(\mathrm{mod}N)$$

但这与

$$2=1+1\le k_1+k_2\le D+D\le N-1$$

矛盾。

代码