DistinctAdjacent

[ABC307E] Distinct Adjacent

解答1：

我们将圆环上有 $i$ 个人的情况的答案记为 $f(i)$。考虑有 $i+1$ 个人排成一排的情况，此时答案为 $M\times (M-1{)}^i$。这样的传递方式中，如果是圆环的情况且不满足条件的传递方式只有人 $i+1$ 和人 $1$ 的情况不同。因此，这两个人可以视为同一人，这样的传递方式有 $f(i)$ 种。因此，我们有 $f(i+1)=M\times (M-1{)}^i-f(i)$。这样就解决了这个问题。

代码

解答2：

DP

这道题可以看作是 ABC256G 和 ABC232E 的简化版。

圆环上的DP

对于一排排列的情况，我们可以考虑 DP，定义状态 $\mathrm{DP}[i][x]$ 表示前 $i$ 个人已经分配完毕，第 $i$ 个人手中的数字为 $x$，并且前 $i$ 个人中没有相邻的人手中的数字相同的方案数。这样的话，我们只需要考虑第 $i$ 个人手中的数字和第 $i-1$ 个人手中的数字是否相同即可。最后的答案就是 $\sum _{x=0}^{M-1}\mathrm{DP}[N][x]$。

对于围成一圈的情况，我们可以先固定第一个人手中的数字为 $k$，然后考虑 DP，定义状态 ${\mathrm{DP}}_k[i][x]$ 表示前 $i$ 个人已经分配完毕，第 $1$ 个人手中的数字为 $k$，第 $i$ 个人手中的数字为 $x$，并且前 $i$ 个人中没有相邻的人手中的数字相同的方案数。这样的话，我们只需要考虑第 $i$ 个人手中的数字和第 $i-1$ 个人手中的数字是否相同即可。最后的答案就是 $\sum _{k=0}^{M-1}\sum _{x\ne k}{\mathrm{DP}}_k[N][x]$。

但是，这样的 DP 状态数和转移数都是 $O(N{M}^N)$ 的，无法通过本题。因此，我们需要进行状态的优化。注意到，我们只需要知道第 $i$ 个人手中的数字和第 $1$ 个人手中的数字是否相同即可，因此我们可以将状态 $\mathrm{DP}[i][x]$ 中的 $i$ 去掉，只保留一个布尔值 $f$ 表示第 $i$ 个人手中的数字和第 $1$ 个人手中的数字是否相同。这样的话，状态数就变成了 $O(N)$，转移数也是 $O(1)$ 的。最后的答案就是 $\mathrm{DP}[N][\mathrm{false}]$。

例题：

• ABC232E

writer解(C)

另外，我们还可以使用包除原理来求解。注意到，我们需要满足 $N$ 个条件，即相邻的两个人手中的数字不能相同。我们可以考虑使用包除原理，设 $S_k$ 表示恰好有 $k$ 个相邻的人手中的数字相同的方案数，则最终的答案为 $\sum _{k=0}^N(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k})M^{max(1,N-k)}$。这个式子的计算量是 $O(N)$ 的，可以通过本题。

解答3：

答案是 $(-1{)}^N(M-1)+(M-1{)}^N$。可以通过以下几种方法得出：

1. 包括排斥原理

使用包括排斥原理，可以得出方案数为

$$\sum _{k=0}^N(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k})M^{max\{1,N-k\}}$$

整理得到

$$\begin{array}{rl}\sum _{k=0}^N(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k})M^{max\{1,N-k\}}& =(-1{)}^N(M-1)+\sum _{k=0}^N(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k})M^{N-k}\\ & =(-1{)}^N(M-1)+(M-1{)}^N\end{array}$$

2. DP 的优化

公式解释中的 DP 可以写成矩阵乘法的形式，因为转移不依赖于 $i$。具体来说，答案可以表示为

$$a_N=\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}M-2& M-1\\ 1& 0\end{array}\right)}^{N-1}\left(\begin{array}{c}0\\ M\end{array}\right)$$

整理得到 $a_n=(-1{)}^n(M-1)+(M-1{)}^n$。也可以通过解 $2$ 阶线性递推式得到这个结果，即

$$\begin{array}{rl}{a}_2& =M(M-1)\\ a_3& =M(M-1)(M-2)\\ a_n& =(M-2)a_{n-1}+(M-1)a_{n-2}(n\ge 4)\end{array}$$

以下是一个实现的例子：

#include <bits/extc++.h>
#include <atcoder/modint>

int main() {
    using namespace std;
    int N, M;
    cin >> N >> M;
    atcoder::static_modint<998244353> m = M - 1;
    cout << (m.pow(N) + (N & 1 ? -m : m)).val() << endl;
    return 0;
}

N, M = map(int, input().split())
p = 998244353

print((pow(M - 1, N, p) + pow(-1, N, p) * (M - 1)) % p)