KthNumber

[ABC295E] Kth Number

考虑这个贡献可以表示成这样

$$\sum _{i=1}^{m}i\times p_i$$

其中 $p_i$ 是答案为 $i$ 的概率。

我们可以考虑枚举空位的可能，设空位有 $w$ 个，满足选择的数 $\le i-1(<i)$ 的空位有 $x$，$=i$ 的有 $y$ 个。

很容易发现只需要满足以下两个条件那么就可以使得 $i$ 作为答案。记 $S_i$ 为确定的数中 $\le i$ 的个数。

$$\begin{gathered} S_{i-1}+x\le k-1\mathrm{①} \\ {S}_i+x+y\ge k \end{gathered}$$

前者保证了 $i-1$ 不可能是第 $k$ 个，后者保证了除此之外 $i$ 对于 $k$ 来说是足够的。

其实这样已经可以做了，但是复杂度过高 $O(m{n}^2)$，考虑优化。

发现 $\sum _{i=1}^{m}i\times p_i$ 也可以表示为

$$\sum _{i=1}^{m}su{f}_i$$

$su{f}_i=\sum _{i=1}^m{p}_i$。

很好理解。

然后我们就发现其实不需要 $y$ 了，只要满足①即可。因为剩下的 $w-x$ 一定都满足 $\ge i$。对于这时的 $i,x$，贡献为 $C_w^x\times (i-1{)}^x\times (n-i+1{)}^{w-x}$。

复杂度 $O(mn)$。

代码