InsertionSort2

[ARC162B] Insertion Sort 2

本题还是对于不变量的考察，但是比较明显。

首先两个数捆绑插到任意一个位置可以等价为偶数次相邻交换（（因为你每次可以这样：比如现在是 a<b<c,a,b,c，你可以交换 a,c，变为 c,b,a，然后交换 ab，变为 c,a,b，这样你就会往后挪动一次，往前同理①）。然后我们知道每次相邻交换可以消去/产生一个逆序对，所以奇偶性会改变，改变偶数次就不变，而最后逆序对为 $0$，所以如果初始时逆序对数为奇数，一定无解。

然后我们考虑到对于偶数个逆序对的初始序列一定有解。

只需重复以下过程即可：

找到最小的 $m$，使得 $P_m\ne m$。如果不存在这样的 $m$，则 $P$ 已经是升序，结束过程。

对于满足 $P_k=m$ 的 $k$，如果 $k<N$，则进行操作 $i=k$，$j=m-1$。（相当于将这个数接到已经排好序的数后面）否则，首先进行操作 $i=N-1$，$j=N-3$，然后进行操作 $i=k$，$j=m-1$。（相当于将它移到倒数第二个位置，这样他就可以接，否则中间隔着一个数）

上述过程在 $m=N-1$ 时可能无法成功（因为最后前面的都排好序，如果这样交换破坏了前面），但是由于逆序对数为偶数这个条件，$m=N-1$ 是不可能的。（其实到 $n-2$ 确定完之后 $n-1,n$ 都不需要了）。此外，通过一次操作，$m$ 必定会增加至少 1（或 $P$ 变为升序），因此上述过程最多重复 $N-2$ 次。

因此，$P$ 可以始终通过不超过 $2000$ 次操作排列为升序。

code

对于①研究时可能有用的例子：

[1 4] 5 2 3

5 [1 4] 2 3（5，1；1，4交换）

5 2 [1 4] 3（2，1；1，4交换）