[ABC299G]MinimumPermutation

[ABC299G] Minimum Permutation

考虑一个必要的性质：如果现在有一个数 $x_1$，它后面有一个数 $y<x_1$，且 $x_1$ 又在 $y$ 后面出现了若干次（$x_2,x_3,\dots ,x_k$，我们直接考虑最后一个 $x_k$），那么 $x1$ 一定不是答案。（显然前面的 $x_1$ 可以不选，然后选择 $y,x_2\sim x_k$ 这样任意一个，首先 $x,y$ 二者的顺序发生改变，其他部分又完全没有影响）。

发现了这一点就可以做了。

我们维护一个单调栈。

一次考虑每个 $a_i$。

• 栈中有了，什么都不做
• 栈中没有
  • 如果栈顶满足上述的性质，那么弹出栈顶（可以循环多次）
  • 然后，插入 $a_i$。

这样我们尽力让每个数尽量往前放，比如 $1$，如果满足上述性质，我们就尽量让它往前放了。

粗略的证明一下。假设有两个序列 $A,B$*，$A$ 的字典序小于 $B$，且 $A$ 是字典序最小的。

$A$ 的第一个与 $B$ 不同的位置为 $x$，$A_x$ 在 $B$ 中出现的位置 $y$ 一定在 $x$ 之后。

$B_y$ 能移动到 $x$，在处理 $B$ 的时候 $B_y$ 会被移动到 $x$，所以不会找到 $B$ 序列。（反正就是上述性质可以保证能移动过来就过来）

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