[ABC302G]

[ABC302G] Sort from 1 to 4

一道简单的性质分析题。

考虑到这个数列只有 $[1,4]$ 的数，就可以考虑有哪几种交换方案。

我们先统计出 $t[i][j]$ 表示应该填 $i$ 但是填了 $j$ 的位置，注意 $i=j$ 时 $t[i][j]=0$。

1. 交换两个数，例如 $t[1][2],t[2][1]$，代价为 $1$，恢复两个位置。
2. 交换三个数，例如 $t[1][2],t[2][3],t[3][1]$，代价为 $2$，恢复三个位置，即 $2,3,1$ 变为 $1,3,2$ 再变为 $1,2,3$。
3. 交换四个数，例如 $t[1][2],t[2][3],t[3][4],t[4][1]$，代价为 $3$，恢复四个位置，交换方法如下图
   

由于只有 $4$ 个不同的数，所以后面的交换方案都是浪费的。由于 ${\displaystyle \frac{2}{1}}>{\displaystyle \frac{3}{2}}>{\displaystyle \frac{4}{3}}$，所以按照 1,2,3 的操作顺序是最优的。容易发现这样一定是对的。排序可以用变量统计，操作 3 可以根据前面的操作 1,2 剩下的对数求得次数。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define Ls(i,l,r) for(int i=l;i<r;++i)
#define Rs(i,l,r) for(int i=l;i>r;--i)
#define Le(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
#define Re(i,l,r) for(int i=l;i>=r;--i)
#define L(i,l) for(int i=0;i<l;++i)
#define E(i,l) for(int i=1;i<=l;++i)
#define W(t) while(t--)
const int N=200010;
int n,a[N],cnt[5],t[5][5],ans;
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("1.in","r",stdin);
    // freopen("1.out","w",stdout);
    // ios::sync_with_stdio(0);
    // cin.tie(0);
    // cout.tie(0);
    #endif
    // Insert Code Here
    scanf("%d",&n);
    E(i, n)scanf("%d",a+i),++cnt[a[i]];
    E(i, 4)cnt[i]+=cnt[i-1];
    E(i, n)
        E(j, 4)
            if(i<=cnt[j]){
                if(a[i]!=j)++t[a[i]][j];
                break;
            }
    // E(i, 4){
    //     E(j, 4)printf("%d ",t[i][j]);
    //     puts("");
    // }
    E(i, 4)
        E(j, 4){
            int d=min(t[i][j],t[j][i]);
            /*if(d)printf("%d %d\n",i,j),*/t[i][j]-=d,t[j][i]-=d,ans+=d;
        }
    // printf("%d\n",ans);
    
    // E(i, 4){
    //     E(j, 4)printf("%d ",t[i][j]);
    //     puts("");
    // }
    E(i, 4)
        E(j, 4)
            E(k, 4){
                int d=min({t[i][j],t[j][k],t[k][i]});
                /*if(d)printf("d=%d\n",d),*/t[i][j]-=d,t[j][k]-=d,t[k][i]-=d,ans+=d+d;
            }
    int tot=0;
    E(i, 4)
        E(j, 4)tot+=t[i][j];
    ans+=tot/4*3;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}