A∗算法

\(A*\) 算法

这个算法其实就是 dijkstra 的变种，是对于一般的 bfs 的一种优化手段。

首先需要设置一个东西叫做估价函数。普通的 bfs 的估价函数一般取 \(0\)。这个东西如果你要保证一定正确，记起点到当前点的距离为 \(d[i]\)，到末尾的真实距离为 \(g[i]\)，设你的估价函数是 \(f[i]\)，则 \(f[i]\le g[i]\) 就能保证正确。下面我们来证明一下这个结论：

反证法，假设不成立，即当前出队的终点距离不是最优解，即 \(dist>d_{\text{最优}}\)，我们设最优解路径上有一点 \(u\)，则必有 \(d[u]+f[u]\le d[u]+g[u]=d_{\text{最优}}\)，所以 \(dist>d_{\text{最优}}\ge f[u]\)。

而且 A* 算法只能保证终点是最优的，但不能保证中途其他点是最优的。（入队、出队都不一定是最优，且最多保证路径上的点）

如图所示，如果某一个点的估价距离等于它的真实距离都为 \(L\)，其他点的估价都是 \(0\)，那么就会先从上面一圈绕过来走到后面很远很远的点才发现是错的，所以那个圈和直线交界的位置第一次出队的结果就不是最优解。

可以加一个优化：当一个点的最短距离更新时将其塞入堆中。

估价函数必须非 负。

	bfs	dijkstra	\(A*\)
判重	入队判重	出队判重	不能判重