再探石子合并

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考虑朴素的 dp 方程 \(f[i][j]=\min f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]\)。先证明四边形不等式，证明决策单调性的范围 \(p[i][j-1]\le p[i][j]\le p[i+1][j]\)。复杂度是因为中间都消掉了，所以就是状态数 \(O(n^2)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define L(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
#define R(i,l,r) for(int i=r;i>=l;--i)
const int N=5010;
int n,f[N][N],s[N],p[N][N];
int main(){
    // freopen("1.in","r",stdin);
    // freopen("1.out","w",stdout);
    // ios::sync_with_stdio(0);
    // cin.tie(0);
    // cout.tie(0);
    scanf("%d",&n);
    L(i, 1, n){
        scanf("%d",s+i);
        s[i]+=s[i-1];
    }
    L(i, 1, n)p[i][i]=i;
    L(len, 2, n)
        L(i, 1, n-len+1){
            int j=i+len-1;
            f[i][j]=1e9;
            L(k, p[i][j-1], p[i+1][j]){
                int tmp=f[i][k]+f[k+1][j]+s[j]-s[i-1];
                if(tmp<f[i][j]){
                    f[i][j]=tmp;
                    p[i][j]=k;
                }
            }
        }
    printf("%d",f[1][n]);
    return 0;
}