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糖果传递

AcWing

思路

令 $x_i$ 表示 $i$ 给 $i-1$（$i$ 为 $1$ 时给 $n$）的糖果数，为负表示 $i-1$ 给 $i$ 共 $-x_i$ 个。考虑求 $\sum _{i=1}^n|x_i|$。必须要满足线性方程组：

$$\{\begin{array}{l}{a}_1-x_1+x_2=\overline{a}\\ a_2-x_2+x_3=\overline{a}\\ \dots \\ a_n-x_n+x_1=\overline{a}\end{array}$$

整理得

$$\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=a_1-\overline{a}\\ x_2-x_3=a_2-\overline{a}\\ \dots \\ x_n-x_1=a_n-\overline{a}\end{array}$$

对所有方程作后缀和得

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=x_1-0\\ x_2=x_1-(n-1)\overline{a}+\sum _{i=2}^n{a}_i\\ \dots \\ x_{n-1}=x_1-2\overline{a}+(a_{n-1}+a_n)\\ x_n=x_1-\overline{a}+a_n\end{array}$$

求它们的绝对值之和的最小值，就是求一个点到 $0,(n-1)\overline{a}-\sum _{i=2}^n{a}_i,2\overline{a}-(a_{n-1}+a_n),\overline{a}-a_n$，应取中位数为 $x_1$。可以用 nth_element 优化到 $O(n)$。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1000010;
long long n;
typedef long long ll;
ll sum,res,a[N];
int main(){
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%lld",a+i),sum+=a[i];
	sum/=n;
	for(int i=n;i>1;--i)a[i]+=a[i+1]-sum;
	a[1]=0;
	nth_element(a+1,a+(n+1>>1),a+1+n);
	for(int i=1;i<=n;++i)res+=abs(a[i]-a[n+1>>1]);
	printf("%lld",res);
    return 0;
}