树链剖分
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<algorithm> using namespace std; struct node { int x,y,v; }; node edge[10001]; char c[10]; int t,n,z,m,a,b,f1,f2,root,w[10001],tree[40004],top[10001],size[10001],son[10001],head[10001],next[20002],list[20002],fa[10001],dep[10001];
//tree[]为线段树，size[v]表示以v为根节点的子树的结点个数，son[v]表示v的重儿子，fa[v]表示v的父节点，dep[v]表示树的深度，top[v]表示v所在链的顶端节点，w[v]表示点v与其父亲的连边在线段树中的位置。
//n表示节点数，m表示边数，z表示线段树中的边数。 void insert(int x,int y) { next[++m]=head[x]; head[x]=m; list[m]=y; } void dfs(int v) //dfs求节点的size son dep { size[v]=1; son[v]=0; for (int i=head[v];i;i=next[i]) if (list[i]!=fa[v]) { fa[list[i]]=v; dep[list[i]]=dep[v]+1; dfs(list[i]); if (size[list[i]]>size[son[v]]) son[v]=list[i]; size[v]+=size[list[i]]; } } void build_tree(int v,int tp) //求top w { w[v]=++z; top[v]=tp; if (son[v]!=0) build_tree(son[v],top[v]); for (int i=head[v];i;i=next[i]) if (list[i]!=son[v]&&list[i]!=fa[v]) build_tree(list[i],list[i]); } void updata(int root,int low,int high,int pos,int x) //更改某条边（即线段树中第pos个点）的值 { if (pos>high||pos<low) return; if (low==high) { tree[root]=x; return; } int mid=(low+high)/2,ls=root*2,rs=ls+1; updata(ls,low,mid,pos,x); updata(rs,mid+1,high,pos,x); tree[root]=max(tree[ls],tree[rs]); } int maxi(int root,int low,int high,int l,int r) 求区间[l,r]的最大值，线段树。 { if (l>high||r<low) return 0; if (l<=low&&high<=r) return tree[root]; int mid=(low+high)/2,ls=root*2,rs=ls+1; return max(maxi(ls,low,mid,l,r),maxi(rs,mid+1,high,l,r)); } int find(int va,int vb) 寻找va->vb路径上边的最大值，线段树维护。 { int f1=top[va],f2=top[vb],tmp=0; while (f1!=f2) { if (dep[f1]<dep[f2]) { swap(f1,f2); swap(va,vb); } tmp=max(tmp,maxi(1,1,z,w[f1],w[va])); va=fa[f1];f1=top[va]; } if (va==vb) return tmp; if (dep[va]>dep[vb]) swap(va,vb); return max(tmp,maxi(1,1,z,w[son[va]],w[vb])); } int main() { scanf("%d",&t); while (t--) { memset(size,0,sizeof(size)); memset(head,0,sizeof(head)); memset(next,0,sizeof(next)); memset(tree,0,sizeof(tree)); scanf("%d",&n); root=(n+1)/2; fa[root]=z=dep[root]=m=0; for (int i=1;i<n;i++) { scanf("%d%d%d",&edge[i].x,&edge[i].y,&edge[i].v); insert(edge[i].x,edge[i].y); insert(edge[i].y,edge[i].x); } dfs(root); build_tree(root,root); for (int i=1;i<n;i++) { if (dep[edge[i].x]>dep[edge[i].y]) swap(edge[i].x,edge[i].y); updata(1,1,z,w[edge[i].y],edge[i].v); } } scanf("%s",c); while (c[0]!='D') { scanf("%d%d",&a,&b); if (c[0]=='Q') printf("%d\n",find(a,b)); else updata(1,1,z,w[edge[a].y],b); scanf("%s",c); } return 0; }
以下为转载内容：
在一棵树上进行路径的修改、求极值、求和”乍一看只要线段树就能轻松解决，实际上，仅凭线段树是不能搞定它的。我们需要用到一种貌似高级的复杂算法——树链剖分。
树链，就是树上的路径。剖分，就是把路径分类为重链和轻链。
记siz[v]表示以v为根的子树的节点数，dep[v]表示v的深度(根深度为1)，top[v]表示v所在的链的顶端节点，fa[v]表示v的父亲，son[v]表示与v在同一重链上的v的儿子节点（姑且称为重儿子），w[v]表示v与其父亲节点的连边（姑且称为v的父边）在线段树中的位置。只要把这些东西求出来，就能用logn的时间完成原问题中的操作。
重儿子：siz[u]为v的子节点中siz值最大的，那么u就是v的重儿子。
轻儿子：v的其它子节点。
重边：点v与其重儿子的连边。
轻边：点v与其轻儿子的连边。
重链：由重边连成的路径。
轻链：轻边。
剖分后的树有如下性质：
性质1：如果(v,u)为轻边，则siz[u] * 2 < siz[v]；
性质2：从根到某一点的路径上轻链、重链的个数都不大于logn。
算法实现：
我们可以用两个dfs来求出fa、dep、siz、son、top、w。
dfs_1：把fa、dep、siz、son求出来，比较简单，略过。
dfs_2：⒈对于v，当son[v]存在（即v不是叶子节点）时，显然有top[son[v]] = top[v]。线段树中，v的重边应当在v的父边的后面，记w[son[v]] = totw+1，totw表示最后加入的一条边在线段树中的位置。此时，为了使一条重链各边在线段树中连续分布，应当进行dfs_2(son[v])；
⒉对于v的各个轻儿子u，显然有top[u] = u，并且w[u] = totw+1，进行dfs_2过程。
这就求出了top和w。
将树中各边的权值在线段树中更新，建链和建线段树的过程就完成了。
修改操作：例如将u到v的路径上每条边的权值都加上某值x。
一般人需要先求LCA，然后慢慢修改u、v到公共祖先的边。而高手就不需要了。
记f1 = top[u]，f2 = top[v]。
当f1 <> f2时：不妨设dep[f1] >= dep[f2]，那么就更新u到f1的父边的权值(logn)，并使u = fa[f1]。
当f1 = f2时：u与v在同一条重链上，若u与v不是同一点，就更新u到v路径上的边的权值(logn)，否则修改完成；
重复上述过程，直到修改完成。
求和、求极值操作：类似修改操作，但是不更新边权，而是对其求和、求极值。
就这样，原问题就解决了。鉴于鄙人语言表达能力有限，咱画图来看看：
如右图所示，较粗的为重边，较细的为轻边。节点编号旁边有个红色点的表明该节点是其所在链的顶端节点。边旁的蓝色数字表示该边在线段树中的位置。图中1-4-9-13-14为一条重链。
当要修改11到10的路径时。
第一次迭代：u = 11，v = 10，f1 = 2，f2 = 10。此时dep[f1] < dep[f2]，因此修改线段树中的5号点，v = 4, f2 = 1；
第二次迭代：dep[f1] > dep[f2]，修改线段树中10--11号点。u = 2，f1 = 2；
第三次迭代：dep[f1] > dep[f2]，修改线段树中9号点。u = 1，f1 = 1；
第四次迭代：f1 = f2且u = v，修改结束。
