ABC373 [A-F] 题解
A September
按题意模拟即可。
B 1D Keyboard
容易发现从 A 开始然后不断按顺序走 BCD...Z 字符就是最优的。
C Max Ai+Bj
分别找出 \(\{A\}\) 和 \(\{B\}\) 中最大然后相加即可。
D Hidden Weights
原式子可化为：\(x_{u_j}+w_j=x_{v_j}\)。
无环的情况直接从无入度点搜一遍就行，考虑对于任意一个环我们如何求解。
假设该环有 \(k\) 条边，令边 \(i(1\le i\le k)\) 连接着 \(i\) 和 \(i+1\) 号节点，特别的第 \(k\) 条边为 \((k,1)\)。
由环上任意一点绕一圈回来可以得到 \(x_i+\sum_{j=1}^kw_j=x_i\)
而题目保证有解。
所以最后答案与在环上哪个点起始和取值多少无关，只要一直搜的去满足式子就行。
最后注意图可能不连通，还有从任意一点搜如果该点有入度，那么入度后的全部用反图搜。
E How to Win the Election（傻逼）
做 E 题做的特别难受，艹了，前面 4 题 20min 写完了，结果和 E 题杠到比赛结束，NM。
考虑将 \(\{A\}\) 按大小排序，可知只要加上剩余选票后大小能大于等于第 M 个的选票就一定有解，反之一定无解。
接着考虑如何最小化答案，我们令 \(i\) 为当前参选人（排序后），\(res\) 表示剩余选票数，\(x\) 表示给 \(i\) 用了多少选票，\(len\) 表示加上选票后会被重新超过至少要多少人，\(pos\) 表示第一个小于等于 \(A_i+x\) 的人的位置，\(sum_{l,r}=\sum_{i=l}^rA_i\)（排序后）。
则 \(x\) 合法当且仅当以下式子成立：
上式的含义表示 \(len\) 个人的总选票和剩余可使用选票加起来不能满足使每个人都超过 \(A_i+x\)，也即第 \(i\) 个参选人不会被 \(len\) 个人超越，依然在前 \(M\) 位当中。
至于为什么上式不成立时这样一定能分配成功，这是因为，这些人的选票都小于第 \(i\) 个人的，所以总能找到一种分配方式。
显然知道 \(x\) 就可以知道 \(pos\)，知道 \(pos\) 就可以知道 \(len\)，所以可以对 \(x\) 二分答案，再对 \(pos\) 二分。
时间复杂度 \(O(n\log_2^2n)\)
F Knapsack with Diminishing Values
一眼 dp 题。
暴力转移是简单的，令 \(f_{i,j}\) 表示算到第 \(i\) 个人，使用容量为 \(j\)，\(w_i,v_i\) 同原题，对于每个 \(j\)，\(lim\) 表示最多可以放多少个 \(i\)，并且满足 \(-k^2+kv_i>0\) 。
则 \(f_{i,j}=\max_{k=1}^{lim} f_{i-1,j-kw_i}-k^2+kv_i\)，并且还要和 \(f_{i-1,j}\) 取 \(\max\)。
显然可以滚掉一维，写的时候注意以下枚举顺序就是了。
\(f_j=\max_{k=1}^{lim} f_{j-kw_i}\)。
然后呢？这个转移方程是暴力 \(O(NW^2)\) 的。怎么优化它？
我发现它没有前途，做不到将其优化（可能是因为我菜）。
可以考虑将 \(f_j\) 做前缀 \(\max\)，以求单调性方面的优化，可是以 \(k\in[1,lim]\) 为 \(x\) 轴时，\(-k^2+kv_i\) 是单峰的并且可知峰顶横坐标，\(f_j\) 却是单调不降的，结果二者相加不满足单调性，我们没法二分或是三分。
后面实质就是引导至官方做法了。
因为 \(W\) 不大，可能会有相同的 \(w_i\)，难道我们每个都要给他遍历一遍吗？这样显然是不好的。
那么我们就想，对于 \(w_i\) 相同的 \(i\)，我们可不可以求出使用 \(k\) 个 \(w_i\) 时取不同的 \(v_i\) 的最大值是多少。当然可以。
但是暴力求解还是 \(NW^2\) 的，不好。但是我们还有 \(-K^2+Kv_i\) 这个式子可以入手，拆解后可以得到：
\(-K^2+Kv_i=\sum_{k=1}^{K}v_i-2k+1\)。
也就是说对于一个每多用一次 \(i\)，加上的权值都是之前的权值减二。
所以我们可以把所有的 \(v_i-1\) 放入优先队列中，每取出一次就给这个值减二再放回去，这样取 \(lim\) 次就知道所有的合法 \(k\) 对应的最大值是多少。
这里的复杂度是 \(O(N\log^2N)\)，两只老鸽，一只来自优先队列，一只来自调和级数。（认为 \(N,W\) 同阶，下同）
这样，我们对每个 \(w(1\le w\le W)\) 就都只会遍历一遍，总时间复杂度就为 \(O(N^2\log N)\)。
