莫比乌斯反演常用性质结论
符号规约
\([A]\)，艾弗森括号，其中 \(A\) 为命题，若 \(A\) 为真，则该式值为 \(1\)，否则为 \(0\)。
\(h=f*g\)，表示狄利克雷卷积，意为：
\[h(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})
\]
常见积性函数
单位函数：\(\large{e(n)=[n=1]}\)
幂函数：\(\large\text{Id}_k(n)=n^k\)
常数函数：\(\large{1(n)=1}\)
因数个数：\(\large\text{d}(n)=\sum\limits_{d\mid n}1\)
除数函数：\(\large\sigma_k(n)=\sum\limits_{d\mid n}d^k\)
欧拉函数：\(\large\varphi(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=1]\)
莫比乌斯函数：
\[\mu(n) = \begin{cases}1 &n=1\\0 &n\ \text{含有平方因子}\\(-1)^k &k\text{为}\ n\ \text{的本质不同质因子个数}
\end{cases}\]
常用性质结论
\(1.\)
\[\large
\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]
\]
\(2.\)
\[\large{\begin{align*}
[\gcd(x,y)=1] &= \sum_{d|\gcd(x,y)}\mu(d) \\
&= \sum_{d=1}\mu(d)[d|x][d|y]
\end{align*}}
\]
\(3.\)
\[\large \varphi *1=\text{Id}
\]
\(4.\)
\[\large\sum_{i=1}^{n}i[\gcd(i,n)=1]=\frac{\varphi(n)*n}{2}
\]
\(5.\)
\[\large\text{d}(i*j)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[\gcd(x,y)=1]
\]
