各类数学公式

同余

费马小定理：

\(p\) 为质数，则对任意整数满足：

\[a^p\equiv a \pmod{p} \]

欧拉定理：

若 \(a,n\in \mathbb{N}^+,\gcd(a,n)=1\) 则:

\[a^{\varphi(n)}\equiv 1 \pmod{n} \]

其中 \(\varphi(n)\) 为欧拉函数。

扩展欧拉定理：

\[a^b\equiv\begin{cases}a^b,b<\varphi(n) \\a^{b\mod{\varphi(n)\ +\ \varphi(n)}}\end{cases}\pmod{n} \]

组合计数相关

错排公式：

\[D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}) \]

\(D_1=0,D_2=1\)。

二项式定理：

\[(a+b)^n=\sum_{i=0}^nC_n^ia^ib^{n-i} \]

排列：

\[A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!} \]

组合：

\[C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]

\(\text{Catalan}\) 数各类公式：

令 \(H_i\) 为 \(\text{Catalan}\) 数第 \(i\) 项。

\[\large H_i=\frac{C_{2n}^n}{n+1} \]

\[\large H_i=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1} \]

\[\large H_i=\frac{(4i-2)H_{i-1}}{i+1} \]

\[\large H_i=\sum_{j=1}^nH_{j-1}H_{i-j} \]

\(H_0=1,H_1=1\)。

常见积性函数

单位函数：\(e(n)=[n=1]\)

幂函数：\(\operatorname{Id}_k(n)=n^k\)

常数函数：\(1(n)=1\)

因数个数：\(\operatorname{d}(n)=\sum\limits_{d\mid n}1\)

除数函数：\(\sigma_k(n)=\sum\limits_{d\mid n}d^k\)

欧拉函数：\(\varphi(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=1]\)

莫比乌斯函数：

\[\mu(n) = \begin{cases}1 &n=1\\0 &n\ \text{含有平方因子}\\(-1)^k &k\text{为}\ n\ \text{的本质不同质因子个数} \end{cases}\]

主定理

为什么会出现在这？

若一个算法的复杂度可以表示为：

\[T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n) \]

令 \(h=\log_ba\)。

当 \(f(n)=O(n^d)\) 时。

有：

\[\large{T(n)=\begin{cases}O(n^d) &d>h\\O(n^d\log n) &d=h\\O(n^{h}) &d<h\end{cases}} \]

当 \(f(n)=O(n^h\log^kn),k\ge1\) 时。

有：

\[T(n)=O(n^h\log^{k+1}n) \]