各类数学公式
同余
费马小定理：
\(p\) 为质数，则对任意整数满足：
\[a^p\equiv a \pmod{p}
\]
欧拉定理：
若 \(a,n\in \mathbb{N}^+,\gcd(a,n)=1\) 则:
\[a^{\varphi(n)}\equiv 1 \pmod{n}
\]
其中 \(\varphi(n)\) 为欧拉函数。
扩展欧拉定理：
\[a^b\equiv\begin{cases}a^b,b<\varphi(n) \\a^{b\mod{\varphi(n)\ +\ \varphi(n)}}\end{cases}\pmod{n}
\]
组合计数相关
错排公式：
\[D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})
\]
\(D_1=0,D_2=1\)。
二项式定理：
\[(a+b)^n=\sum_{i=0}^nC_n^ia^ib^{n-i}
\]
排列：
\[A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}
\]
组合：
\[C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}
\]
\(\text{Catalan}\) 数各类公式：
令 \(H_i\) 为 \(\text{Catalan}\) 数第 \(i\) 项。
\[\large H_i=\frac{C_{2n}^n}{n+1}
\]
\[\large H_i=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}
\]
\[\large H_i=\frac{(4n-2)H_{n-1}}{n+1}
\]
\[\large H_i=\sum_{j=1}^nH_{j-1}H_{i-j}
\]
\(H_0=1,H_1=1\)。
