二分图的最大匹配

概念

二分图的最大匹配：两个集合中的点没有公共顶点
交错路：从非匹配点开始，由匹配边和非匹配边交替组成
增广路：从非匹配点开始，以非匹配点结束的交错路

匈牙利

匈牙利算法的基本思想是找增广路，可以分为一下几个步骤

• 遍历与现在节点相邻的边，找到另一个集合的顶点
• 假设将图中的路是否为增广路进行反转，这样只需要遍历的点没经过遍历就可以加入
• 如果遍历到的点已经被选中，则看看能否将它与其他点进行匹配

【模板】二分图最大匹配

bool dfs(int x){
    for(auto now:e[x]){
        if(vis[now]){//在此轮中已经遍历过了
            continue;
        }
        vis[now]=1;
        if(!match[now] || dfs(match[now])){
            match[now]=x;
            return true;
        }
    }
    return false;
}

这是部分，$matc{h}_u$存的是到目前为止$u$的匹配点。$vis$每轮清空，而它不会，保证了正确性

#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=50010;
vector<vector<int>> e(N);
bool vis[N];
int match[N];
bool dfs(int x){
    for(auto now:e[x]){
        if(vis[now]){
            continue;
        }
        vis[now]=1;
        if(!match[now] || dfs(match[now])){
            match[now]=x;
            return true;
        }
    }
    return false;
}
int main(){
    int n,m,t;
    cin>>n>>m>>t;
    for(int i=0; i<t; i++){
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        e[u].push_back(v);
    }
    int sum=0;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        memset(vis,0,sizeof(vis));//match没有清空
        if(dfs(i)){
            sum++;
        }
    }
    cout<<sum<<endl;
    return 0;
}