线性规划之单纯形法

线性规划之单纯形法

线性规划是要你求出一个问题的最优解，也许是最大的，也许是最小的。
但是，要解决这个问题的同时，会给你几个约束条件。在满足这几个条件下，你将要求出最优解。

实例：修建运动场

学校要靠一侧的围墙修建运动场，现在只有围建60米的建筑材料，请问如何选取操场的长和宽，可以使运动场的面积最大？
那么，我们设答案为$p$，操场的长为$x$，操场的宽为$y$，则要求$maxp$。

接着，我们找出限制条件：$2x+y\le 60$，$x\ge 0$，$y\ge 0$
最优解：$X=15,Y=30$

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实例：安排生产计划

某陶瓷公司是一家手工艺制造公司，生产陶制的碗和杯子，使用两大主要资源是粘土和有技艺的劳动力，公司想知道每天生产多少数量的碗和杯子可以最大化利润。

	碗	杯子	资源限制
粘土（斤/个）	4	3	120斤
劳动力（小时/个）	1	2	40小时
利润（元/个）	40	50

设答案为$p$，列出目标函数：$maxp=40x+50y$
约束条件：$4x+3y\le 120$，$x+2y\le 40$，$y\ge 0$，$x\ge 0$

我们可以用图解法来解决这个问题。
在上一个问题中，我们知道最优解就是把所有材料都用完。可是，这题有可能并不是把所有材料用完最优。
但是，我们可以把两个约束条件都看得最大，两者在图像上的重叠部分就是答案所在的区域，然后再去找。
那么，我们就可以这样看：$y=-\frac{4x}{3}+40$，$y=-0.5x+20$
这两个就是在图像上的线段。

那么，答案就（如图1）内。
（图1）
那么，我们可以再画一条线$y=-\frac{4x}{5}$，让它在这个区间内移动，找到最大值。
我们发现，最大值是两条直线的交点，也就是$(24,8)$
所以，最优答案就是24和8。

不过，不是所有的这种题目答案都是两条线的交点，要具体看情况。