对权值线段树剪枝的误解--以HDU6703为例

引子

对hdu6703，首先将问题转化为“询问一个排列中大于等于k的值里，下标超过r的最小权值是多少”
我们采用官方题解中的做法：权值线段树+剪枝
对(a[i],i)建线段树，查询权值线段树的[k,n]中第一个下标超过r的值
代码是这样的

int ask(int l, int r, int root){
    int mid = (l+r)>>1;
    if(mx[root]<=R)return -1;
    if(l==r){return l;}
    int ans = -1;
    if(k<=mid)ans=ask(lson);
    if(ans==-1)ans=ask(rson);
    return ans;
}

这把辣鸡的我给看meng了：在R=n的时候，最坏情况下一直向左递归，并且没找到然后向右递归，再向右递归的同时又重复没找到，这个ask不就退化成O(n)的了吗？

思考

经过半个月的思考（被虐），我大概懂了这个剪枝
首先分析以下几个问题：

什么情况下才会递归下去？

由代码第三行的

if(mx[root]<=R)return -1;

我们可以知道，只有当前权值区间\((l,r)\)的最大下标超过R才可能存在答案

什么情况下会往左递归并且不会从左边的递归返回答案？

假设当前权值区间为\([l,r]\)
如果往左边递归没有O(1)返回的话，根据上面的结论，那么一定是因为左区间\([l,mid]\)存在一个下标大于R
但是，左区间中合法区间应该为\([max(k,l),mid]\) **
所以当\(k>l\)，且答案均分布在\([l,k]\)时，才会向左递归并且不从左区间返回答案**

什么时候“错误的左区间递归”会结束？

假设最坏情况，答案在k-1里，k-1一直在做区间的递归中，只有递归到当l=k的时候，才会结束这个错误
由线段树的相关性质只可以知道，这个最坏情况可以到\(l=r=k\)，也就是跑了一个\(O(logn)\)的链

深入思考

思考完以上几个问题，继续思考：

当走完这条错误链，回溯的时候，会回溯到哪里？

当然是第一次出现这个错误分叉的地方(其实就是父节点)
但是此时我们在左区间没找到答案，会去右区间，而右区间\([mid+1,r]\)是完全包含于合法区间\([k,n]\)中的，所以只会出现两种情况
1.右区间没有合法答案，O(1)退出，继续回溯
2.右区间有答案，最终答案必在右区间中
一旦出现了2，就是正常的没有限制\([k,n]\)的线段树找最小值的O(logn)的做法了
而1也只是一个普通的回溯，按照父节点回溯到最原始的错误分叉，答案就在另一条路中
这个问题就解决啦

结论

这个剪枝强无敌，最终询问操作的执行次数只有两条链
复杂度为O(logn)