[冲激信号]展缩特性的推导
[冲激信号]展缩特性的推导
冲激信号定义
冲激信号，被戏称“看不见”的信号，在非零处的值小到看不着，而在零处的值却大到看不着，但是它却真实存在（具有一定的能量）。一种定义方式如下：
\[\begin{cases}
A\delta(t-t_0) = 0\ , \ t \not = t_0\\
A \delta(t-t_0) \to +\infty \ ,\ t = t_0\\
\int_{-\infty}^{\infty} A\delta(t-t_0) dt = A
\end{cases}
\]
冲激信号，更像是一种“归类”。由泛函数定义的冲激信号为
\[\int_{-\infty}^{\infty} A\delta(t-t_0)f(t) dt = Af(t_0)
\]
冲激信号是能将任意连续信号 \(f(t)\) 映射为一个确定数值的一类信号，也就是说只要满足上式的映射信号，就是一个冲激信号。
展缩特性
泛函数的定义方式有利于我们的数学推导。
设存在一个冲激信号的形式为 \(\delta(at+b)\)，其中 \(a \not = 0\)。我们分别讨论 \(a\) 的正负的情况。
- 当 \(a > 0\) 时，写出积分形式，并作变量替换 \(m=at+b\)， 则有
\[\begin{aligned}& \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta(at+b)f(t) dt \\& = {\int_{-\infty}^{\infty}} \delta(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\&= \frac{1}{a} f(-\frac{b}{a})\end{aligned}
\]
上式的结果与冲激信号 \(\frac{1}{a}\delta(t+\frac{b}{a})\) 相同，即
\[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{a}\delta(t+\frac{b}{a})f(t) dt = \frac{1}{a}f(-\frac{b}{a})
\]
按照广义函数相等的准则，认为这两种信号的形式是等价的，即
\[\delta(at+b) = \frac{1}{a}\delta(t+\frac{b}{a}), a > 0
\]
-
当 \(a < 0\) 时，与上一情况唯一的不同点在于变量替换后积分区间的变换（多了个负号）
\[\begin{aligned} & \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta(at+b)f(t) dt \\ & = \int_{+\infty}^{-\infty} \delta(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\ & = -\int_{-\infty}^{\infty} \delta(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\ &= -\frac{1}{a} f(-\frac{b}{a}) \end{aligned} \]
最终有
\[\delta(at+b) = -\frac{1}{a}\delta(t+\frac{b}{a}), a < 0
\]
综上，即有
\[\delta(at+b) = \frac{1}{|a|}\delta(t+\frac{b}{a})
\]
冲激偶信号的证明 也是类似的思路，首先是冲激偶信号泛函数定义为
\[\int_{-\infty}^{\infty} A\delta'(t-t_0)f(t) dt = -Af'(t_0)
\]
设某一个冲激偶信号的形式为 \(\delta'(at+b)\)，其中 \(a \not = 0\)，则有：
-
当 \(a > 0\) 时，
\[\begin{aligned} & \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta'(at+b)f(t) dt \\ & = {\int_{-\infty}^{\infty}} \delta'(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\ &= -\frac{1}{a} \left[ \frac{d f(\frac{m-b}{a})}{dm}\right]_{m=0} \\ &= -\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} f'(\frac{-b}{a}) \end{aligned} \]与冲激偶信号 \(\frac{1}{a^2}\delta’(t+\frac{b}{a})\) 相同，即
\[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{a^2}\delta'(t+\frac{b}{a})f(t) dt = -\frac{1}{a^2}f(-\frac{b}{a}) \]根据广义函数等价原则，两者相等，即
\[\delta'(at+b) = \frac{1}{a^2} \delta'(t+\frac{b}{a})\ , \ a > 0 \] -
当 \(a < 0\) 时，同样的流程（注意积分区间的变换）
\[\begin{aligned} & \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta'(at+b)f(t) dt \\ & = {\int_{+\infty}^{-\infty}} \delta'(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\ & = -{\int_{-\infty}^{\infty}} \delta'(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\ &= \frac{1}{a} \left[ \frac{d f(\frac{m-b}{a})}{dm}\right]_{m=0} \\ &= \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} f'(\frac{-b}{a})\\ \end{aligned} \]与冲激偶信号 \(-\frac{1}{a^2}\delta'(t+\frac{b}{a})\) 相同，即
\[\int_{-\infty}^{\infty} -\frac{1}{a^2}\delta'(t+\frac{b}{a})f(t) dt = \frac{1}{a^2}f(-\frac{b}{a}) \]故两者等价，即
\[\delta'(at+b) = -\frac{1}{a^2} \delta'(t+\frac{b}{a})\ , \ a < 0 \]
综上，有
\[\delta'(at+b) = \frac{1}{a|a|}\delta'(t+\frac{b}{a})
\]
