[冲激信号]展缩特性的推导

[冲激信号]展缩特性的推导

冲激信号定义

冲激信号，被戏称“看不见”的信号，在非零处的值小到看不着，而在零处的值却大到看不着，但是它却真实存在（具有一定的能量）。一种定义方式如下：

$$\begin{cases} A\delta(t-t_0) = 0\ , \ t \not = t_0\\ A \delta(t-t_0) \to +\infty \ ,\ t = t_0\\ \int_{-\infty}^{\infty} A\delta(t-t_0) dt = A \end{cases}$$

冲激信号，更像是一种“归类”。由泛函数定义的冲激信号为

$$\int_{-\infty}^{\infty} A\delta(t-t_0)f(t) dt = Af(t_0)$$

冲激信号是能将任意连续信号 $f(t)$ 映射为一个确定数值的一类信号，也就是说只要满足上式的映射信号，就是一个冲激信号。

展缩特性

泛函数的定义方式有利于我们的数学推导。

设存在一个冲激信号的形式为 $\delta(at+b)$，其中 $a \not = 0$。我们分别讨论 $a$ 的正负的情况。

1. 当 $a > 0$ 时，写出积分形式，并作变量替换 $m=at+b$， 则有

$$\begin{aligned}& \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta(at+b)f(t) dt \\& = {\int_{-\infty}^{\infty}} \delta(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\&= \frac{1}{a} f(-\frac{b}{a})\end{aligned}$$

上式的结果与冲激信号 $\frac{1}{a}\delta(t+\frac{b}{a})$ 相同，即

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{a}\delta(t+\frac{b}{a})f(t) dt = \frac{1}{a}f(-\frac{b}{a})$$

按照广义函数相等的准则，认为这两种信号的形式是等价的，即

$$\delta(at+b) = \frac{1}{a}\delta(t+\frac{b}{a}), a > 0$$

2. 当 $a < 0$ 时，与上一情况唯一的不同点在于变量替换后积分区间的变换（多了个负号）

   $$\begin{aligned} & \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta(at+b)f(t) dt \\ & = \int_{+\infty}^{-\infty} \delta(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\ & = -\int_{-\infty}^{\infty} \delta(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\ &= -\frac{1}{a} f(-\frac{b}{a}) \end{aligned}$$

最终有

$$\delta(at+b) = -\frac{1}{a}\delta(t+\frac{b}{a}), a < 0$$

综上，即有

$$\delta(at+b) = \frac{1}{|a|}\delta(t+\frac{b}{a})$$

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冲激偶信号的证明 也是类似的思路，首先是冲激偶信号泛函数定义为

$$\int_{-\infty}^{\infty} A\delta'(t-t_0)f(t) dt = -Af'(t_0)$$

设某一个冲激偶信号的形式为 $\delta'(at+b)$，其中 $a \not = 0$，则有：

1. 当 $a > 0$ 时，

   $$\begin{aligned} & \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta'(at+b)f(t) dt \\ & = {\int_{-\infty}^{\infty}} \delta'(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\ &= -\frac{1}{a} \left[ \frac{d f(\frac{m-b}{a})}{dm}\right]_{m=0} \\ &= -\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} f'(\frac{-b}{a}) \end{aligned}$$

   与冲激偶信号 $\frac{1}{a^2}\delta’(t+\frac{b}{a})$ 相同，即

   $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{a^2}\delta'(t+\frac{b}{a})f(t) dt = -\frac{1}{a^2}f(-\frac{b}{a})$$

   根据广义函数等价原则，两者相等，即

   $$\delta'(at+b) = \frac{1}{a^2} \delta'(t+\frac{b}{a})\ , \ a > 0$$

2. 当 $a < 0$ 时，同样的流程（注意积分区间的变换）

   $$\begin{aligned} & \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta'(at+b)f(t) dt \\ & = {\int_{+\infty}^{-\infty}} \delta'(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\ & = -{\int_{-\infty}^{\infty}} \delta'(m) f(\frac{m-b}{a}) \frac{dm}{a}\\ &= \frac{1}{a} \left[ \frac{d f(\frac{m-b}{a})}{dm}\right]_{m=0} \\ &= \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} f'(\frac{-b}{a})\\ \end{aligned}$$

   与冲激偶信号 $-\frac{1}{a^2}\delta'(t+\frac{b}{a})$ 相同，即

   $$\int_{-\infty}^{\infty} -\frac{1}{a^2}\delta'(t+\frac{b}{a})f(t) dt = \frac{1}{a^2}f(-\frac{b}{a})$$

   故两者等价，即

   $$\delta'(at+b) = -\frac{1}{a^2} \delta'(t+\frac{b}{a})\ , \ a < 0$$

综上，有

$$\delta'(at+b) = \frac{1}{a|a|}\delta'(t+\frac{b}{a})$$