信号与系统04 离散时间傅里叶变换

1. 离散时间傅里叶变换

• 1. 离散时间傅里叶变换
  • 1.1. 周期序列的离散傅里叶级数 DFS
    • 1.1.1. 计算公式
    • 1.1.2. 离散傅里叶级数的性质
  • 1.2. 离散时间傅里叶变换 DTFT
    • 1.2.1. 计算公式
    • 1.2.2. 性质
      • 1.2.2.1. 唯一性
      • 1.2.2.2. 奇偶不变性
      • 1.2.2.3. 周期性
      • 1.2.2.4. 线性
      • 1.2.2.5. 共轭对称性
      • 1.2.2.6. 时移、频移特性
      • 1.2.2.7. 尺度变换特性
      • 1.2.2.8. 差分、求和特性
      • 1.2.2.9. 频域微分特性
      • 1.2.2.10. 卷积特性
      • 1.2.2.11. 巴什瓦定律
  • 1.3. 周期序列的离散时间傅里叶变换
  • 1.4. 常见的离散时间傅里叶变换对
    • 1.4.1. 单边指数序列
    • 1.4.2. 单位采样序列
    • 1.4.3. 直流信号
    • 1.4.4. 周期样本序列
  • 1.5. 小结

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1.1. 周期序列的离散傅里叶级数 DFS

连续时间周期信号可以表示成一系列复指数信号的线性加权之和（$FS$），离散的周期序列也可以表示成傅里叶级数的形式。

1.1.1. 计算公式

设离散周期序列 $x[n]$ 的周期为 $N$，则基频为 $\Omega_0 = \frac{2\pi}{N}$，傅里叶系数对为：

$$\begin{aligned} X[k] &= \frac{1}{N} \sum_{n=<N>} x[n] e^{-j\Omega_0 kn}\\ x[n] &= \sum_{k=<N>} X[k] e^{j\Omega_0 kn} \end{aligned}$$

1.1.2. 离散傅里叶级数的性质

与连续时间周期信号相比，离散周期序列的傅里叶级数有以下区别：

• 有限性。$x[n]$ 的傅里叶系数 $X[k]$ 是有限的，为 $N$ 项，而连续时间的周期信号傅里叶系数一般是无限的；
• 周期性。$X[k]$ 具有周期性，周期为 $N$，因此任取一个周期内($k\in[k_0, k_0+N-1]$)的傅里叶级数，都可以唯一确定原来的序列。
• 不存在收敛问题。不同于连续时间傅里叶级数，任何一个离散周期序列均可以通过有限项的傅里叶级数来表示，因此不存在收敛问题，也不存在吉伯斯现象。

产生与连续时间信号傅里叶级数不同的原因是：离散复指数信号的周期性，频率相差 $2\pi$ 的离散复指数信号是相同，因此对于 $e^{j\Omega_0 k n}$ 只有 $N$ 个不同的谐波分量。

$$e^{j\Omega_0 (k+N) n} = e^{j\Omega_0 k n}$$

1.2. 离散时间傅里叶变换 DTFT

1.2.1. 计算公式

$$\begin{aligned} X(e^{j\Omega}) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-jn\Omega}\\ x[n] &= \frac{1}{2\pi} \int_{<2\pi>} X(e^{j\Omega}) e^{jn\Omega} d \Omega \end{aligned}$$

其中，$X(e^{j\Omega})e^{jn\Omega}$ 是周期函数，周期为 $2\pi$，所以积分区间可以是任意长度为 $2\pi$ 的区间。

推导过程：

1. 非周期序列 $x[n]$ 可以等效为一个周期无限长的周期序列 $\tilde{x}[n]$。$x[n]$ 相当于 $\tilde{x}[n]$ 的一个周期，当周期 $N$ 越大的时候，$\tilde{x}(n)$ 有更大的一部分与 $x[n]$ 等效，即

$$x[n] = \lim_{N \to +\infty} \tilde{x}[n]$$

2. 对周期序列 $\tilde{x}[n]$ 进行傅里叶级数展开，即

   $$\tilde{X}[k] = \frac{1}{N} \sum_{n=<N>} x[n] e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}$$

   考虑到 $x[n]$ 的非零区间为 $[-N_1,N_1]$，可以令在此区间的傅里叶级数的包络为

   $$X(e^{j\Omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-jn\Omega}$$

   傅里叶系数与包络的关系为

   $$X[k] = \frac{1}{N} X(e^{j\Omega}) |_{\Omega = k\Omega_0}$$

3. 周期信号可以表示为包络的等间隔采样，即

   $$\begin{aligned} \tilde{x}[n] &= \sum_{k=<N>} \frac{1}{N} X(e^{k\Omega_0}) e^{j\Omega_0 kn}\\ &= \frac{1}{2\pi} \sum_{k=<N>} X(e^{k\Omega_0}) e^{j\Omega_0 kn} \Omega_0 \end{aligned}$$

4. 当周期 $N \to +\infty$ 时，有$\tilde{x}[n] \to x[n]$，$\Omega_0 \to 0$，则求和中的每一项表示的物理意义是一个宽度为 $\Omega_0$，高度为 $X(k\Omega_0) e^{j\Omega_0 kn}$ 的矩形的面积。根据微积分的定义，可以将其改写为积分的形式。总共有 $N$ 个宽度为 $\Omega_0$ 的矩形，所以最终的积分区间为 $N \times \Omega_0 = 2\pi$，

   $$x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{<2\pi>} X(e^{j\Omega}) e^{j\Omega n} d\Omega$$

收敛条件：

1. 上面的推导虽然是有限长的序列的情况，但对于某些的无限长的序列也是成立的。
2. 要求序列必须绝对可和或者序列的能量是有限的（有限长的序列都满足，无限长的必须满足此条件）
   $$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x[n]| < \infty, \quad \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x[n]|^2 < \infty$$

1.2.2. 性质

1.2.2.1. 唯一性

序列与离散时间的傅里叶变换是一一对应的。

1.2.2.2. 奇偶不变性

离散时间傅里叶变换不改变奇偶性，即奇序列的离散时间傅里叶变换仍是奇函数，偶序列的离散时间傅里叶变换仍是偶函数。

1.2.2.3. 周期性

• $X(e^{j\Omega})$ 是一个周期函数，周期为 $2\pi$，$X(e^{j\Omega}) = X(e^{\Omega + 2\pi})$；
• 靠近 $\pi$ 的奇数倍为信号的高频部分；
• 靠近 $\pi$ 的偶数倍为信号的低频部分。

1.2.2.4. 线性

$$ax_1[n] + bx_2[n] \leftrightarrow aX_1(e^{j\Omega}) + bX_2(e^{j\Omega})$$

1.2.2.5. 共轭对称性

$$x^*[n] \leftrightarrow X^*(e^{-j\Omega})$$

• 信号的偶分量 $x_e[n]$ 对应 $\mathrm{Re}[X(e^{j\Omega})]$；
• 信号的奇分量 $x_o[n]$ 对应 $\mathrm{Im}[X(e^{j\Omega})]$；
• 如果 $x[n]$ 为实信号，则 $X(e^{j\Omega})$ 是共轭对称函数（实部为偶，虚部为奇/幅度为偶，相位为奇），实部就相当于 $X(e^{j\Omega})$ 的偶分量，虚部就相当于 $X(e^{j\Omega})$ 的奇分量。（特别注意，前提条件是实序列）
• 根据奇偶不变性，若 $x[n]$ 为实偶序列，则 $X(e^{\Omega})$ 只存在为偶分量的实部；若 $x[n]$ 为实奇序列，则 $X(e^{\Omega})$ 只存在为奇分量的虚部；

1.2.2.6. 时移、频移特性

• 时移特性

  $$x[n - n_0] \leftrightarrow X(e^{j\Omega}) e^{-j\Omega n_0}$$

• 频移特性

  $$x[n] e^{j\Omega_0 n} \leftrightarrow X(e^{j(\Omega - \Omega_0)})$$

1.2.2.7. 尺度变换特性

离散序列的时间尺度的变换定义为：（要求 $k$ 是一个正整数）

$$x_{(k)}[n] = \begin{cases} x[n/k]&, n 是 k 的倍数\\ 0 &, 其他 \end{cases}$$

例如：$k=3$，相当于在原序列的每项之间插$(3-1)$个0，则在频域上傅里叶变换被压缩了，

$$x_{(k)}[n] \leftrightarrow X(e^{jk\Omega}), \quad k\ge1$$

【例】
已知序列 $x[n] = \delta[n+1] + \delta[n-1]$，可以分别求得:

$$\begin{aligned} x[n] &\leftrightarrow 2\cos \Omega\\ x_{(2)}[n] &\leftrightarrow 2\cos (2\Omega)\\ x_{(3)}[n] &\leftrightarrow 2\cos (3\Omega)\\ \end{aligned}$$

【注意】

• 时域扩展后，频域是被压缩了，但是幅度是没发生变换，因为插 0 不会丢失原信号的信息，不会改变序列的总能量；
• $k$ 必须是正整数，上式才成立。若 $k < 1$ 例如 $k = 1/2$，相当于从原序列中每隔一个元素抽取一个元素组成一个新的序列，与原序列相比是丢失很多信息的，例如：计算 $X_k(e^{j\Omega})$ 的过程就是一个累加的过程，显然，抽取之后参与累加的元素变少了，抽取后的傅里叶函数至少在幅度上会发生变化，故上式是不成立的。

1.2.2.8. 差分、求和特性

后向差分特性

$$\triangledown x[n] = x[n] - x[n-1] \leftrightarrow (1-e^{-j\Omega}) X(e^{j\Omega})$$

求和特性

$$\sum_{k=-\infty}^{n} x[k] \leftrightarrow \frac{1}{1-e^{-j\Omega}} X(e^{jw}) + \pi X(0) \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\Omega - 2\pi k)$$

其中，$X(0)$ 是 $x[n]$ 的直流分量，即 $X(0) = \sum_{k} x[k]$.

1.2.2.9. 频域微分特性

$$(-n) x[n] \leftrightarrow \frac{d X(e^{j\Omega})}{d (j\Omega)}\\ n x[n] \leftrightarrow j\frac{d X(e^{j\Omega})}{dw}$$

频域的微分运算可以转化为时域的乘法运算，因子为 $-n$.

1.2.2.10. 卷积特性

• 时域卷积特性

$$x[n] * y[n] \leftrightarrow X(e^{j\Omega}) Y(e^{j\Omega})$$

• 频域卷积特性

  $$x[n] y[n] \leftrightarrow \frac{1}{2\pi} X(e^{j\Omega}) \circledast Y(e^{j\Omega}) = \frac{1}{2\pi} \int_{<2\pi>} X(e^{j\eta}) Y(e^{j\Omega-j\eta}) d \eta$$

  其中, $\circledast$ 表示周期卷积。

  频域卷积有两个重要的应用：

  • 调制，对信号的频谱进行搬移；
  • 加窗，对时域信号进行截断，滤波等。

1.2.2.11. 巴什瓦定律

$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x[n]|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{<2\pi>} |X(e^{j\Omega})|^2 d\Omega$$

1.3. 周期序列的离散时间傅里叶变换

周期序列的离散时间傅里叶变换有两种推导方式：

• 傅里叶级数展开
• 时域卷积

再推导之前，给出以下离散时间傅里叶变换对：

$$\begin{aligned} e^{j\Omega_0 n} &\leftrightarrow 2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - \Omega_0 - 2\pi k)\\ \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta[n-kN] &\leftrightarrow \Omega_0 \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - k\Omega_0) \end{aligned}$$

利用傅里叶级数的推导过程

周期序列可以用傅里叶技术表示，即

$$\begin{aligned} \tilde{x}[n] &= \sum_{k=<N>} X[k] e^{j\frac{2\pi}{N}kn}\\ &\leftrightarrow \sum_{k=<N>} 2\pi X[k] \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - \frac{2\pi}{N}k - 2\pi m)\\ &= 2\pi X[0] \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - 2\pi m) \\ &\quad + 2\pi X[1] \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - \frac{2\pi}{N} - 2\pi m)\\ &\quad + 2\pi X[2] \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - \frac{2\pi}{N}\cdot 2 - 2\pi m)\\ &\quad \cdots\\ &\quad + 2\pi X[N-1] \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - \frac{2\pi}{N}\cdot (N-1) - 2\pi m)\\ &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} 2\pi X[k] \delta(\Omega - \frac{2\pi}{N}k) \end{aligned}$$

利用时域卷积性质的推导过程

同连续时间信号类似，周期序列 $\tilde{x}[n]$ 可由非周期序列 $x[n]$ 进行周期延拓得到，即

$$\tilde{x}[n] = x[n] * \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta[n-kN]$$

根据时域卷积特性，有

$$\tilde{X}(e^{j\Omega}) \leftrightarrow X(e^{j\Omega}) \cdot \Omega_0 \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - k\Omega_0) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \Omega_0 X(e^{j\Omega_0}) \delta(\Omega - k\Omega_0)$$

傅里叶级数与离散时间傅里叶变换的关系为：$X[k] = \frac{1}{N}X(e^{j\frac{2\pi}{N}k})$，两种推导的方式的最终结果是一致的。

对于周期序列，其离散时间傅里叶变换为一系列的冲激函数，也是一个周期函数。在一个周期内，每个冲激的幅度为该谐波分量傅里叶级数的 $2\pi$ 倍。

1.4. 常见的离散时间傅里叶变换对

离散时间傅里叶变换的计算实际上就是计算等比数列的求和问题。

在实际中，离散时间傅里叶变换用得比较少，$z$ 变换比较多些。

下面给出在求系统响应时常见的变换对：

1.4.1. 单边指数序列

$$a^{n} u[n] \leftrightarrow \frac{1}{1-ae^{-j\Omega}},\quad |a|<1$$

1.4.2. 单位采样序列

$$\delta[n] \leftrightarrow 1\\ \delta[n-n_0] \leftrightarrow e^{-j\Omega n_0}$$

1.4.3. 直流信号

$$1 \leftrightarrow 2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - 2\pi k)\\ e^{j\Omega_0 n} \leftrightarrow 2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - \Omega_0 - 2\pi k)$$

1.4.4. 周期样本序列

$$\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta[n-kN] \leftrightarrow \Omega_0 \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - k\Omega_0)$$

直流信号和周期样本序列不能或难以根据定义式求出，其推导过程利用了连续时间采样的一些知识。

1.5. 小结

• 时域的离散性对应了频域的周期性（非周期离散序列的离散时间傅里叶变换为周期连续函数）
• 时域的周期性对应了频域的离散性（周期离散序列的离散时间傅里叶变换为周期的离散冲激族）
• 与连续时间傅里叶变换相比的相同点：唯一性，线性，奇偶不变性，共轭特性，时移频移特性，频域微分特性，时域卷积
• 与连续时间傅里叶变换相比的不相同点：
  • 周期性：离散时间傅里叶变换为周期函数
  • 时域展缩：序列时域上只能“展”（插0），不能“缩”（抽样）。对于连续时间为 $f(at)\leftrightarrow \frac{1}{|a|} f(\frac{t}{a})$，而离散时间为 $x_{(a)}[n] \leftrightarrow X(e^{ja\Omega})$
  • 频域卷积特性：离散时间序列对应的是周期卷积
  • 巴什瓦定律：频域的能量的积分区间长度为 $2\pi$