信号与系统04 离散时间傅里叶变换
1. 离散时间傅里叶变换
- 1. 离散时间傅里叶变换
1.1. 周期序列的离散傅里叶级数 DFS
连续时间周期信号可以表示成一系列复指数信号的线性加权之和(\(FS\)),离散的周期序列也可以表示成傅里叶级数的形式。
1.1.1. 计算公式
设离散周期序列 \(x[n]\) 的周期为 \(N\),则基频为 \(\Omega_0 = \frac{2\pi}{N}\),傅里叶系数对为:
1.1.2. 离散傅里叶级数的性质
与连续时间周期信号相比,离散周期序列的傅里叶级数有以下区别:
- 有限性。\(x[n]\) 的傅里叶系数 \(X[k]\) 是有限的,为 \(N\) 项,而连续时间的周期信号傅里叶系数一般是无限的;
- 周期性。\(X[k]\) 具有周期性,周期为 \(N\),因此任取一个周期内(\(k\in[k_0, k_0+N-1]\))的傅里叶级数,都可以唯一确定原来的序列。
- 不存在收敛问题。不同于连续时间傅里叶级数,任何一个离散周期序列均可以通过有限项的傅里叶级数来表示,因此不存在收敛问题,也不存在吉伯斯现象。
产生与连续时间信号傅里叶级数不同的原因是:离散复指数信号的周期性,频率相差 \(2\pi\) 的离散复指数信号是相同,因此对于 \(e^{j\Omega_0 k n}\) 只有 \(N\) 个不同的谐波分量。
\[e^{j\Omega_0 (k+N) n} = e^{j\Omega_0 k n} \]
1.2. 离散时间傅里叶变换 DTFT
1.2.1. 计算公式
其中,\(X(e^{j\Omega})e^{jn\Omega}\) 是周期函数,周期为 \(2\pi\),所以积分区间可以是任意长度为 \(2\pi\) 的区间。
推导过程:
- 非周期序列 \(x[n]\) 可以等效为一个周期无限长的周期序列 \(\tilde{x}[n]\)。\(x[n]\) 相当于 \(\tilde{x}[n]\) 的一个周期,当周期 \(N\) 越大的时候,\(\tilde{x}(n)\) 有更大的一部分与 \(x[n]\) 等效,即
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-
对周期序列 \(\tilde{x}[n]\) 进行傅里叶级数展开,即
\[\tilde{X}[k] = \frac{1}{N} \sum_{n=<N>} x[n] e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \]考虑到 \(x[n]\) 的非零区间为 \([-N_1,N_1]\),可以令在此区间的傅里叶级数的包络为
\[X(e^{j\Omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-jn\Omega} \]傅里叶系数与包络的关系为
\[X[k] = \frac{1}{N} X(e^{j\Omega}) |_{\Omega = k\Omega_0} \] -
周期信号可以表示为包络的等间隔采样,即
\[ \begin{aligned} \tilde{x}[n] &= \sum_{k=<N>} \frac{1}{N} X(e^{k\Omega_0}) e^{j\Omega_0 kn}\\ &= \frac{1}{2\pi} \sum_{k=<N>} X(e^{k\Omega_0}) e^{j\Omega_0 kn} \Omega_0 \end{aligned} \] -
当周期 \(N \to +\infty\) 时,有\(\tilde{x}[n] \to x[n]\),\(\Omega_0 \to 0\),则求和中的每一项表示的物理意义是一个宽度为 \(\Omega_0\),高度为 \(X(k\Omega_0) e^{j\Omega_0 kn}\) 的矩形的面积。根据微积分的定义,可以将其改写为积分的形式。总共有 \(N\) 个宽度为 \(\Omega_0\) 的矩形,所以最终的积分区间为 \(N \times \Omega_0 = 2\pi\),
\[x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{<2\pi>} X(e^{j\Omega}) e^{j\Omega n} d\Omega \]
收敛条件:
- 上面的推导虽然是有限长的序列的情况,但对于某些的无限长的序列也是成立的。
- 要求序列必须绝对可和或者序列的能量是有限的(有限长的序列都满足,无限长的必须满足此条件)\[\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x[n]| < \infty, \quad \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x[n]|^2 < \infty \]
1.2.2. 性质
1.2.2.1. 唯一性
序列与离散时间的傅里叶变换是一一对应的。
1.2.2.2. 奇偶不变性
离散时间傅里叶变换不改变奇偶性,即奇序列的离散时间傅里叶变换仍是奇函数,偶序列的离散时间傅里叶变换仍是偶函数。
1.2.2.3. 周期性
- \(X(e^{j\Omega})\) 是一个周期函数,周期为 \(2\pi\),\(X(e^{j\Omega}) = X(e^{\Omega + 2\pi})\);
- 靠近 \(\pi\) 的奇数倍为信号的高频部分;
- 靠近 \(\pi\) 的偶数倍为信号的低频部分。
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1.2.2.4. 线性
1.2.2.5. 共轭对称性
- 信号的偶分量 \(x_e[n]\) 对应 \(\mathrm{Re}[X(e^{j\Omega})]\);
- 信号的奇分量 \(x_o[n]\) 对应 \(\mathrm{Im}[X(e^{j\Omega})]\);
- 如果 \(x[n]\) 为实信号,则 \(X(e^{j\Omega})\) 是共轭对称函数(实部为偶,虚部为奇/幅度为偶,相位为奇),实部就相当于 \(X(e^{j\Omega})\) 的偶分量,虚部就相当于 \(X(e^{j\Omega})\) 的奇分量。(特别注意,前提条件是实序列)
- 根据奇偶不变性,若 \(x[n]\) 为实偶序列,则 \(X(e^{\Omega})\) 只存在为偶分量的实部;若 \(x[n]\) 为实奇序列,则 \(X(e^{\Omega})\) 只存在为奇分量的虚部;
1.2.2.6. 时移、频移特性
-
时移特性
\[x[n - n_0] \leftrightarrow X(e^{j\Omega}) e^{-j\Omega n_0} \] -
频移特性
\[x[n] e^{j\Omega_0 n} \leftrightarrow X(e^{j(\Omega - \Omega_0)}) \]
1.2.2.7. 尺度变换特性
离散序列的时间尺度的变换定义为:(要求 \(k\) 是一个正整数)
例如:\(k=3\),相当于在原序列的每项之间插\((3-1)\)个0,则在频域上傅里叶变换被压缩了,
【例】
已知序列 \(x[n] = \delta[n+1] + \delta[n-1]\),可以分别求得:
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【注意】
- 时域扩展后,频域是被压缩了,但是幅度是没发生变换,因为插 0 不会丢失原信号的信息,不会改变序列的总能量;
- \(k\) 必须是正整数,上式才成立。若 \(k < 1\) 例如 \(k = 1/2\),相当于从原序列中每隔一个元素抽取一个元素组成一个新的序列,与原序列相比是丢失很多信息的,例如:计算 \(X_k(e^{j\Omega})\) 的过程就是一个累加的过程,显然,抽取之后参与累加的元素变少了,抽取后的傅里叶函数至少在幅度上会发生变化,故上式是不成立的。
1.2.2.8. 差分、求和特性
后向差分特性
求和特性
其中,\(X(0)\) 是 \(x[n]\) 的直流分量,即 \(X(0) = \sum_{k} x[k]\).
1.2.2.9. 频域微分特性
频域的微分运算可以转化为时域的乘法运算,因子为 \(-n\).
1.2.2.10. 卷积特性
- 时域卷积特性
-
频域卷积特性
\[x[n] y[n] \leftrightarrow \frac{1}{2\pi} X(e^{j\Omega}) \circledast Y(e^{j\Omega}) = \frac{1}{2\pi} \int_{<2\pi>} X(e^{j\eta}) Y(e^{j\Omega-j\eta}) d \eta \]其中, \(\circledast\) 表示周期卷积。
频域卷积有两个重要的应用:
- 调制,对信号的频谱进行搬移;
- 加窗,对时域信号进行截断,滤波等。
1.2.2.11. 巴什瓦定律
1.3. 周期序列的离散时间傅里叶变换
周期序列的离散时间傅里叶变换有两种推导方式:
- 傅里叶级数展开
- 时域卷积
再推导之前,给出以下离散时间傅里叶变换对:
利用傅里叶级数的推导过程
周期序列可以用傅里叶技术表示,即
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利用时域卷积性质的推导过程
同连续时间信号类似,周期序列 \(\tilde{x}[n]\) 可由非周期序列 \(x[n]\) 进行周期延拓得到,即
根据时域卷积特性,有
傅里叶级数与离散时间傅里叶变换的关系为:\(X[k] = \frac{1}{N}X(e^{j\frac{2\pi}{N}k})\),两种推导的方式的最终结果是一致的。
对于周期序列,其离散时间傅里叶变换为一系列的冲激函数,也是一个周期函数。在一个周期内,每个冲激的幅度为该谐波分量傅里叶级数的 \(2\pi\) 倍。
1.4. 常见的离散时间傅里叶变换对
离散时间傅里叶变换的计算实际上就是计算等比数列的求和问题。
在实际中,离散时间傅里叶变换用得比较少,\(z\) 变换比较多些。
下面给出在求系统响应时常见的变换对:
1.4.1. 单边指数序列
1.4.2. 单位采样序列
1.4.3. 直流信号
1.4.4. 周期样本序列
直流信号和周期样本序列不能或难以根据定义式求出,其推导过程利用了连续时间采样的一些知识。
1.5. 小结
- 时域的离散性对应了频域的周期性(非周期离散序列的离散时间傅里叶变换为周期连续函数)
- 时域的周期性对应了频域的离散性(周期离散序列的离散时间傅里叶变换为周期的离散冲激族)
- 与连续时间傅里叶变换相比的相同点:唯一性,线性,奇偶不变性,共轭特性,时移频移特性,频域微分特性,时域卷积
- 与连续时间傅里叶变换相比的不相同点:
- 周期性:离散时间傅里叶变换为周期函数
- 时域展缩:序列时域上只能“展”(插0),不能“缩”(抽样)。对于连续时间为 \(f(at)\leftrightarrow \frac{1}{|a|} f(\frac{t}{a})\),而离散时间为 \(x_{(a)}[n] \leftrightarrow X(e^{ja\Omega})\)
- 频域卷积特性:离散时间序列对应的是周期卷积
- 巴什瓦定律:频域的能量的积分区间长度为 \(2\pi\)