什么是吉布斯现象
什么是吉布斯现象
1. 什么是吉布斯现象
1.1. 什么吉布斯现象？
矛盾性：在时域描述一个不连续的信号要求信号的有无穷的频率成分，但实际情况中不可能采样到无穷的频率成分。
实际中的信号采样系统只能采样一定的频率范围，对不连续信号（或有无穷频率成分的信号）采样将会存在频率截断。
频率截断会引起时域信号在不连续处产生“振铃效应”，这个现象成为吉布斯现象。
吉布斯现象：由于频率截断现象，具有无穷频率分量的信号在时域的不连续处会产生“振铃效应”。
- 对连续时间周期信号可以进行傅里叶级数展开，如果只取其中的前有限项，将得到信号的一个最小均方误差逼近。当项目增至无穷时，这个逼近在均方意义上收敛于原信号，但并不是一致收敛的。对于信号的跳变点，傅里叶级数的部分和将在该点附近出现波动，如将其输入理想低通滤波器，则相当于对其频率作了截断，将会出现类似的效果。
- Gibbs 现象的产生有两个条件：(1) 对信号频谱的锐截止；(2) 原信号存在跳变点
1.2. 吉布斯现象形成的原因？
吉布斯现象形成的原因是：频率截断。
“频率截断”可以简单地理解为一个理想的低通滤波器（截止频率为\(w_c\)），如下图所示：
| 幅频特性 | 相频特性 |
|---|---|
 |
 |
低通滤波器只保留\(|w|\le w_c\)的频率成分，因此输入信号的高频部分将被截断，丢失了部分频率信息势必会在时域上产生一定的影响。
下面将分别考虑低通滤波器对单位阶跃信号，矩形脉冲信号，周期矩形脉冲信号的响应来分析吉布斯现象：
低通滤波器的单位阶跃响应
理想的低通滤波器的频率响应为
\[H(jw) = G_{2w_c}(w)e^{-jwt_d}
\]
则单位阶跃响应为
\[\begin{aligned}
S(jw) &= H(jw)\mathscr{F}(u(t))\\
&= G_{2w_c}(w)e^{-jwt_d}\cdot [\pi \delta(w) + \frac{1}{jw}]\\
\end{aligned}\]
为求输出信号的时域波形，进行傅里叶反变换，有
\[\begin{aligned}
s(t) &= \mathscr{F}^{-1}(S(jw))\\
&= \frac{1}{2\pi}\int_{-w_c}^{w_c} [\pi \delta(w) + \frac{1}{jw}]e^{-jwt_d}\cdot e^{jwt} \mathrm{dw}\\
&= \frac{1}{2} + \int_{-w_c}^{w_c}\frac{1}{jw} e^{jw(t-t_d)} \mathrm{dw}\\
&= \frac{1}{2} + \frac{1}{2\pi}\int_{-w_c}^{w_c}\frac{1}{jw}\cos{[w(t-t_d)]}\mathrm{dw} + \frac{1}{2\pi}\int_{-w_c}^{w_c}\frac{1}{w}\sin{[w(t-t_d)]}\mathrm{dw}\\
&= \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{w_c}\frac{1}{w}\sin{[w(t-t_d)]}\mathrm{dw}\\
&= \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{w_c(t-t_d)} \frac{\sin x}{x} dx
\end{aligned}\]
其中上式的积分部分称为正弦积分。输出信号的时域波形如图所示，它具有以下特点：
理想低通滤波器的单位阶跃响应
- 输出波形存在吉布斯波纹，它的振荡频率等于\(\frac{2\pi}{w_c}\)；
- 上升沿之前存在一个幅度最大的负向振峰（预冲），在上升之后存在一个幅度最大的正向振峰（过冲）。无论截止频率\(w_c\)多大，只要\(w_c < \infty\)，过冲和预冲的幅度总是稳定值的9%；
- 上升沿从预冲到过冲的时间与截止频率有关，即\(t_r = \frac{2\pi}{w_c}\)，即\(w_c\)越大，上升越快，吉布斯波纹振荡越明显（趋于无穷时，相当于阶跃）
低通滤波器对矩形脉冲信号的响应
矩形脉冲信号可以看成两个阶跃信号的相减，故输出信号可以看成低通滤波器的两个阶跃响应之差，易想象同样存在吉布斯现象。
\[G_{\tau}(t)=u(t) - u(t-\tau)
\]
低通滤波器对周期矩形脉冲信号的响应
设周期方波信号的周期为\(T=2\tau\)，则周期方波信号可以表示为
\[f(t) = 2G_{\tau}(t) * \delta_{2\tau}(t) - 1
\]
其频谱为（\(\Omega = \frac{2\pi}{2\tau}=\frac{\pi}{\tau}\)）
\[\begin{aligned}
F(jw) &= 2\tau Sa(\frac{\tau}{2}w) \Omega \delta_{_{\Omega}}(w) - 2\pi\delta(w)\\
&= \sum_{n=-\infty \atop n\not =0}^{n=+\infty} 2\pi Sa(\frac{n\pi}{2}) \delta(w - n\Omega)
\end{aligned}\]
显然，则是一个偶函数（\(F(jw)\)为纯实数），也是一个奇谐函数（只有奇次谐波分量）。再考虑理想低通滤波器，其输出相应相当于只取\(|w| < w_c\)的频率分量，可以发现：
- 当\(w_c \gg \Omega\) 时，输出信号较为接近原输入信号，但是在不连续处存在预冲和过冲现象；
- 随着\(w_c\)逐渐减小，上升沿变得缓慢（陡度降低），吉布斯波纹周期变长；
- 当\(w_c\)接近\(\Omega\)时，输出信号退化为频率等于基频\(\Omega\)的正弦波。
1.3. 如何减小吉布斯现象？
- 低通滤波器对信号频谱进行频域加窗，频窗有限引起时域的吉布斯波纹，可以考虑其它的频窗，如三角窗等
- 另外，对时域加窗（时域截断）也会出现的吉布斯波纹，因此需要选择好合适的窗函数。
