部分分式展开

部分分式展开

部分分式展开的步骤主要为：

1. 判断有理分式是否为假分式，若是则将其化为真分式。

有理分式

$$\def\MY#1#2{ #1_{#2} x^{#2}} F(x) = \frac{N(x)}{D(x)}= \frac{ \MY{b}{m} + \MY{b}{m-1} + \cdots \MY{b}{1} + \MY{b}{0}}{x^n + \MY{a}{n-1} + \cdots \MY{a}{1} + \MY{a}{0}}$$

若分子 $N(x)$ 的最高次幂大于等于分母 $D(x)$ 的最高次幂，则 $F(x)$ 为假分式。
【例】

$$\begin{aligned} F(x) &= \frac{2x^4 + 3x^3 + x^2 + 2x}{x^2 + 4x + 3}\\ &= 2x^2 - 5x + 15 - \frac{43x+45}{x^2 + 4x + 3} \end{aligned}$$

2. 假设 $F(x)$ 是假分式，对分母 $D(x)$ 进行因式分解，因子可分为3中情况：单根，重根，复根。

• 单根

  $$\def\MY#1{(x-x_{#1})} \def\MYS#1{\frac{k_{#1}}{x-x_{#1}}} \begin{aligned} F(x) &= \frac{N(x)}{\MY{1}\MY{2}\cdots\MY{n}}\\ &= \MYS{1} + \MYS{2} + \cdots \MYS{n} \end{aligned}$$

  其中，$k_i = F(x)(x-x_i) |_{x=x_i}$。

• 重根

  $$\begin{aligned} F(x) &= \frac{N(x)}{(x-x_1)^r(x-x_{r+1})\cdots(x-x_n)}\\ &= \left[\frac{a_0}{(x-x_1)^r} + \frac{a_1}{(x-x_1)^{r-1}} + \cdots + \frac{a_{r-1}}{x-x_1} \right]+ \left( \frac{k_{r+1}}{x-x_{r+1}} + \cdots + \frac{k_{n}}{x-x_{n}} \right) \end{aligned}$$

  其中，从分式累加的形式可以推导出各个分式的系数：

  $$\begin{aligned} a_0 &= F(x)(x-x_1)^r|_{x=x_1}\\ a_1 &= \frac{\mathrm{d}[F(x)(x-x_1)^r]}{\mathrm{d}x}|_{x=x_1}\\ a_2 &= \frac{1}{2!}\frac{\mathrm{d}^2[F(x)(x-x_1)^r]}{\mathrm{d}^2x}|_{x=x_1}\\ &\cdots\\ a_{r-1} &= \frac{1}{(r-1)!}\frac{\mathrm{d}^{r-1}[F(x)(x-x_1)^r]}{\mathrm{d}^{r-1}x}|_{x=x_1} \end{aligned}$$

• 复根

  若分母的因子中存在复根，复根总是共轭成对出现的，因此可以当做单根来进行处理。另外就是复根的系数也是共轭对称的，即

  $$\begin{aligned} F(x) &= \frac{N(x)}{(x-x_1)(x-x_1^*)}\\ &= \frac{k_1}{x-x_1} + \frac{k_1^*}{x-x_1^*} \end{aligned}$$

  为避免复根，还可以将共轭复根只分解到二次因式的形式，如

  $$\begin{aligned} F(x) &= \frac{N(x)}{[(x+a)^2+b^2] (x-x_3) }\\ &= \frac{Ax+B}{(x+a)^2+b^2} + \frac{k_3}{x-x_3} \end{aligned}$$

  其中，单根的系数 $k_3$ 求法同上。
  对于二次因式的系数，求法需要一定的技巧性，
  如上式中，求解出 $k_3$ 后，令 $x=0$，得 $F(0)=\frac{B}{b^2}-\frac{k_3}{x_3}$ 求解出的 $B$，再令 $x = +\infty$，求解出 $A$。

【例题】

$$\begin{aligned} f(x) &= \frac{x^2}{(x-1)^2}\\ &= \frac{(x-1)^2 + 2x - 1}{(x-1)^2}\\ &= 1 + \frac{2x-1}{(x-1)^2}\\ &= 1 + \frac{A}{(x-1)^2} + \frac{B}{x-1}\\ A &= (2x-1)|_{x=1} = 1, \\ B &= \frac{d(2x-1)}{dx}|_{x=1} = 2\\ f(x) &= 1 + \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{2}{x-1} \end{aligned}$$