常见的傅里叶变换对
1. 常见的傅里叶变换对
1.1. 矩形脉冲相关
矩形脉冲信号
\[G_\tau(t) \leftrightarrow \tau \mathrm{Sa} (\frac{\tau}{2} w)
\]
采样信号
\[\mathrm{Sa}(w_c t) \leftrightarrow \frac{\pi}{w_c} G_{2w_c}(w)
\]
三角脉冲信号
\[\land_{2\tau}(t) \leftrightarrow \tau Sa^2(\frac{\tau w}{2})
\]
【注意】
- \(G_{\tau}(t)\) 和 \(\land_{2\tau}(t)\) 的下标表示的非0区间的长度；
- 三角脉冲信号与矩形脉冲信号的关系：\(\land_{2\tau}(t) = \frac{1}{\tau} G_{\tau}(t) * G_{\tau}(t)\)
- 通过傅氏变换的 对称性 和 时域卷积定理 可以证明以上式子。
1.2. 阶跃信号相关
单位阶跃信号
\[u(t) \leftrightarrow \frac{1}{jw} + \pi \delta(w)
\]
单位斜坡信号
\[tu(t) \leftrightarrow j\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w} \left(\frac{1}{jw} + \pi \delta(w)\right) = -\frac{1}{w^2} + j\pi \delta'(w)
\]
【注意】
- 阶跃信号不满足绝对可积的条件，但是引入冲激函数后仍具有傅氏变换；
- \(u(t)\) 是一个积分器，即 \(\int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau = f(t) * u(t)\)；
1.3. 冲激信号相关
单位冲激信号
\[\delta(t) \leftrightarrow 1\\
\delta(t-t_0) \leftrightarrow e^{-jwt_0}\\
\]
冲激信号的 \(k\) 阶导数
\[\delta^{(k)}(n) \leftrightarrow (jw)^k
\]
当某个信号的傅氏变换存在 常数 或者 正幂次项 （可以带个相位），则表示该信号包含冲激或冲激导数的形式。
1.4. 直流信号
\[1 \leftrightarrow 2\pi \delta(w)\\
t^n \leftrightarrow 2 \pi j^n \delta^{(n)}(w)
\]
当某个信号的傅氏变换包含 冲激 或其 冲激导数形式，表示给信号可能存在直流分量或者正幂次项。
1.5. 指数信号
（0 < a < 1）
单边指数信号
因果型：\(e^{-at} u(t) \leftrightarrow \frac{1}{a+jw}\)
非因果型：\(e^{at}u(-t) \leftrightarrow \frac{1}{a-jw}\)
双边指数信号
偶对称型：
\[\begin{aligned}
e^{-a|t|} &= e^{-at}u(t) + e^{at}u(-t)\\
&\leftrightarrow \frac{2a}{a^2 + w^2}
\end{aligned}
\]
奇对称型：
\[\begin{aligned}
e^{-at}u(t) - e^{at}u(-t) \leftrightarrow \frac{-2jw}{a^2 + w^2}
\end{aligned}
\]
指数调频信号
\[e^{-at}\sin(w_0 t)u(t) \leftrightarrow \frac{w_0}{(a + jw)^2 + w_0^2}\\
e^{-at}\cos(w_0 t)u(t) \leftrightarrow \frac{a + jw}{(a + jw)^2 + w_0^2}
\]
频域微分特性
\[\frac{t^{n-1}}{(n - 1)!}e^{-at}u(t) \leftrightarrow \frac{1}{(a + jw)^n}
\]
谐振信号
虚指数信号
\[\begin{aligned}
e^{jw_0t} &\leftrightarrow 2\pi \delta(w - w_0)\\
e^{-jw_0 t} &\leftrightarrow 2\pi \delta(w + w_0)
\end{aligned}
\]
三角信号
\[\begin{aligned}
cos(w_0 t) &= \frac{1}{2}(e^{jw_0 t} + e^{-jw_0 t})\\
&\leftrightarrow \pi [\delta(w - w_0) + \delta(w + w_0)]\\
sin(w_0 t) &= \frac{1}{2j} (e^{jw_0t} - e^{-jw_0t})\\
&\leftrightarrow \frac{\pi}{j}[\delta(jw - jw_0) - \delta(jw + jw_0)]
\end{aligned}
\]
调频信号
\[\begin{aligned}
f(t)cos(w_0 t) &\leftrightarrow \frac{1}{2}[F(jw - jw_0) + F(jw + jw_0)]\\
f(t)sin(w_0 t) &\leftrightarrow \frac{1}{2j}[F(jw - jw_0) - F(jw + jw_0)]
\end{aligned}
\]
1.6. 符号函数相关
\[sgn(t) \leftrightarrow \frac{2}{jw}
\]
对称性
\[\frac{1}{t} \leftrightarrow j\pi sgn(w)
\]
时域微分特性
\[\frac{1}{t^2} \leftrightarrow \pi w sgn(w) = \pi |w|
\]
