常见的傅里叶变换对

1. 常见的傅里叶变换对

• 1. 常见的傅里叶变换对
  • 1.1. 矩形脉冲相关
  • 1.2. 阶跃信号相关
  • 1.3. 冲激信号相关
  • 1.4. 直流信号
  • 1.5. 指数信号
  • 1.6. 符号函数相关

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1.1. 矩形脉冲相关

矩形脉冲信号

$$G_\tau(t) \leftrightarrow \tau \mathrm{Sa} (\frac{\tau}{2} w)$$

采样信号

$$\mathrm{Sa}(w_c t) \leftrightarrow \frac{\pi}{w_c} G_{2w_c}(w)$$

三角脉冲信号

$$\land_{2\tau}(t) \leftrightarrow \tau Sa^2(\frac{\tau w}{2})$$

【注意】

• $G_{\tau}(t)$ 和 $\land_{2\tau}(t)$ 的下标表示的非0区间的长度；
• 三角脉冲信号与矩形脉冲信号的关系：$\land_{2\tau}(t) = \frac{1}{\tau} G_{\tau}(t) * G_{\tau}(t)$
• 通过傅氏变换的 对称性 和 时域卷积定理 可以证明以上式子。

1.2. 阶跃信号相关

单位阶跃信号

$$u(t) \leftrightarrow \frac{1}{jw} + \pi \delta(w)$$

单位斜坡信号

$$tu(t) \leftrightarrow j\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w} \left(\frac{1}{jw} + \pi \delta(w)\right) = -\frac{1}{w^2} + j\pi \delta'(w)$$

【注意】

• 阶跃信号不满足绝对可积的条件，但是引入冲激函数后仍具有傅氏变换；
• $u(t)$ 是一个积分器，即 $\int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau = f(t) * u(t)$；

1.3. 冲激信号相关

单位冲激信号

$$\delta(t) \leftrightarrow 1\\ \delta(t-t_0) \leftrightarrow e^{-jwt_0}\\ $$

冲激信号的 $k$ 阶导数

$$\delta^{(k)}(n) \leftrightarrow (jw)^k$$

当某个信号的傅氏变换存在 常数 或者 正幂次项 （可以带个相位），则表示该信号包含冲激或冲激导数的形式。

1.4. 直流信号

$$1 \leftrightarrow 2\pi \delta(w)\\ t^n \leftrightarrow 2 \pi j^n \delta^{(n)}(w)$$

当某个信号的傅氏变换包含 冲激 或其 冲激导数形式，表示给信号可能存在直流分量或者正幂次项。

1.5. 指数信号

（0 < a < 1）

单边指数信号

因果型：$e^{-at} u(t) \leftrightarrow \frac{1}{a+jw}$

非因果型：$e^{at}u(-t) \leftrightarrow \frac{1}{a-jw}$

双边指数信号

偶对称型：

$$\begin{aligned} e^{-a|t|} &= e^{-at}u(t) + e^{at}u(-t)\\ &\leftrightarrow \frac{2a}{a^2 + w^2} \end{aligned}$$

奇对称型：

$$\begin{aligned} e^{-at}u(t) - e^{at}u(-t) \leftrightarrow \frac{-2jw}{a^2 + w^2} \end{aligned}$$

指数调频信号

$$e^{-at}\sin(w_0 t)u(t) \leftrightarrow \frac{w_0}{(a + jw)^2 + w_0^2}\\ e^{-at}\cos(w_0 t)u(t) \leftrightarrow \frac{a + jw}{(a + jw)^2 + w_0^2}$$

频域微分特性

$$\frac{t^{n-1}}{(n - 1)!}e^{-at}u(t) \leftrightarrow \frac{1}{(a + jw)^n}$$

谐振信号

虚指数信号

$$\begin{aligned} e^{jw_0t} &\leftrightarrow 2\pi \delta(w - w_0)\\ e^{-jw_0 t} &\leftrightarrow 2\pi \delta(w + w_0) \end{aligned}$$

三角信号

$$\begin{aligned} cos(w_0 t) &= \frac{1}{2}(e^{jw_0 t} + e^{-jw_0 t})\\ &\leftrightarrow \pi [\delta(w - w_0) + \delta(w + w_0)]\\ sin(w_0 t) &= \frac{1}{2j} (e^{jw_0t} - e^{-jw_0t})\\ &\leftrightarrow \frac{\pi}{j}[\delta(jw - jw_0) - \delta(jw + jw_0)] \end{aligned}$$

调频信号

$$\begin{aligned} f(t)cos(w_0 t) &\leftrightarrow \frac{1}{2}[F(jw - jw_0) + F(jw + jw_0)]\\ f(t)sin(w_0 t) &\leftrightarrow \frac{1}{2j}[F(jw - jw_0) - F(jw + jw_0)] \end{aligned}$$

1.6. 符号函数相关

$$sgn(t) \leftrightarrow \frac{2}{jw}$$

对称性

$$\frac{1}{t} \leftrightarrow j\pi sgn(w)$$

时域微分特性

$$\frac{1}{t^2} \leftrightarrow \pi w sgn(w) = \pi |w|$$