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🔖信号与系统

2021-09-12 16:17阅读: 1926评论: 1推荐: 1

信号与系统03 连续时间的傅里叶变换

1. 连续时间的傅里叶变换

1. 连续时间的傅里叶变换

1.1. 周期信号的傅里叶级数 CTFS

1.1.1. 展开的条件

在正余弦信号集和虚指数信号集上可以精准正交分解的信号 $f(t)$ 应满足 Dirichlet 条件（狄利克雷条件）:

在一个周期内， $f(t)$ 绝对可积，即 $\displaystyle \int_{t_0}^{t_0+T}|f(t)|dt < \infty$
在一个周期内， $f(t)$ 只能有有有限个极大值或极小值
在一个周期内， $f(t)$ 只能有有限个间断点且不能是瑕点（函数值为无穷）

1.1.2. 计算公式

三角形式的傅里叶级数

\begin{aligned} a_{0} & = \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} f (t) d t \\ a_{n} & = \frac{2}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} f (t) \cos (n Ω t) d t \\ b_{n} & = \frac{2}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} f (t) \sin (n Ω t) d t \\ f (t) & = a_{0} + \sum_{n = 1}^{+ \infty} [a_{n} \cos (n Ω t) + b_{n} \sin (n Ω t)] \end{aligned}

$\begin{aligned} a_0 &= \displaystyle\frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) dt\\ a_n &= \displaystyle\frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cos (n\Omega t) dt\\ b_n &= \displaystyle\frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \sin (n\Omega t) dt\\ f(t) &= a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} [ a_n \cos(n\Omega t) + b_n \sin(n\Omega t) ] \end{aligned}$

【注意】

基频 $\Omega = 2\pi / T$
对于三角形式的傅里叶级数， $n$ 只能取正整数
三角形式的傅里叶级数也称为单边谱， $a_n$ ， $b_n$ 与单边谱 $F_n$ 多了个系数 2

指数形式的傅里叶级数

\begin{aligned} F_{n} & = \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} f (t) e^{- j n Ω t} d t \\ f (t) & = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} F_{n} e^{j n ω t} \end{aligned}

$\begin{aligned} F_n &= \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-jn\Omega t} dt\\ f(t) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} F_n e^{jn\omega t} \end{aligned}$

【注意】

指数形式的傅里叶级数也称为的单边谱， $n$ 取任意整数
$F_n$ 一般是个复数 $F_n = |F_n| e^{j\phi_n}$

三角形式或指数形式傅里叶变换的关系

\begin{aligned} {\begin{cases} a_{n} = F_{n} + F_{- n} \\ b_{n} = F_{n} - F_{- n} \end{cases} \\ {\begin{cases} F_{n} & = \frac{1}{2} (a_{n} - j b_{n}) \\ F_{- n} & = \frac{1}{2} (a_{n} + j b_{n}) \\ | F_{n} | & = \frac{1}{2} \sqrt{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}} \\ ϕ_{n} & = \arctan \frac{b_{n}}{a_{n}} \end{cases} \end{aligned}

$\begin{aligned} &\begin{cases} a_n = F_n + F_{-n}\\ b_n = F_n - F_{-n}\\ \end{cases} \\ &\begin{cases} F_n &= \frac{1}{2} (a_n - j b_n)\\ F_{-n} &= \frac{1}{2} (a_n + j b_n)\\ |F_n| &= \frac{1}{2} \sqrt{a_n^2 + b_n^2}\\ \phi_n &= \arctan \frac{b_n}{a_n} \end{cases} \end{aligned}$

1.1.3. 周期信号的频谱分析

波形对称性与谐波特性的关系

周期偶信号

对于三角形式的傅里叶级数，只存在余弦项 $a_n$ ；
对于指数形式的傅里叶级数， $F_n$ 为纯实数；
反推亦成立！
周期奇信号

对于三角形式的傅里叶级数，只存在正弦项 $b_n$ ；
对于指数新式的傅里叶级数， $F_n$ 为纯虚数；
反推亦成立！
奇谐信号

奇谐信号是指信号平移半个周期 $T/2$ 后，与原信号相加为0的信号，即 $f(t) + f(t \pm T) = 0$ ；
奇谐信号的的傅里叶级数只含有奇次谐波项；
反推亦成立！
偶谐信号

偶谐信号是指信号平移半个周期 $T/2$ 后，与原信号相同的信号，即 $f(t) = f(t + \frac{T}{2})$ ；
奇谐信号的傅里叶级数只含有由此谐波项；
反推亦成立！

【例】

偶信号+奇谐信号	奇信号+奇谐信号	奇谐信号

频谱结构与波形参数的关系

时域越宽，频域越窄，典型的例子就是“直流信号的频谱是单位冲激，单位冲激的频谱是直流”；

对于周期信号，周期越大，谱线间的间隔 $\Omega = 2\pi/ T$ 越小；

周期信号的平均功率

\begin{aligned} P & = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} ‖ f (t) ‖^{2} d t \\ = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (t) f^{*} (t) d t = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (t) {(\sum_{n = - \infty}^{+ \infty} F_{n} e^{j n Ω t})}^{*} d t \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} F_{n}^{*} (\frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (t) e^{- j n Ω t}) \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} F_{n}^{*} F_{n} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} ‖ F_{n} ‖^{2} \\ = a_{0}^{2} + \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{+ \infty} (a_{n}^{2} + b_{n}^{2}) \end{aligned}

$\begin{aligned} P &= \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \|f(t)\|^2 dt\\ &= \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)f^*(t) dt = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \left(\sum_{n=-\infty}^{+\infty} F_n e^{jn\Omega t}\right)^* dt\\ &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} F^*_n \left( \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-jn\Omega t} \right)\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n^* F_n = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \|F_n\|^2\\ &= a_0^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty} (a_{n}^2 + b_n^2) \end{aligned}$

上式为功率有限信号的巴什瓦等式，其物理意义：周期信号的平均功率等于直流分量及各次谐波平均功率之和（能量守恒）。

1.2. 非周期信号的傅里叶变换 CTFT

1.2.1. 计算公式

\begin{aligned} F (j w) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- j w t} d t \\ f (t) & = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (j w) e^{j w t} d w \end{aligned}

$\begin{aligned} F(jw) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-jwt} dt\\ f(t) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(jw) e^{jwt} dw \end{aligned}$

1.2.2. 性质

唯一性

信号和频谱是一一对应的。
线性

$f_1(t) \leftrightarrow F_1(jw), f_2(t) \leftrightarrow F_2(jw)\\ af_1(t) + bf_2(t) \leftrightarrow aF_1(jw) + bF_2(jw)$
奇偶不变性

傅里叶变化不改变信号的奇偶性，即 $F(jw)$ 与 $f(t)$ 的奇偶性是相同的。
共轭特性

$f(t) \leftrightarrow F(jw) \\ f^*(t) \leftrightarrow F^*(-jw)$
写成相量的形式，即

$F(jw) = |F(jw)| e^{j \varphi (w)} \\ F(-jw) = |F(-jw)| e^{j \varphi (-w)} \\ F^*(-jw) = |F(-jw)| e^{- j \varphi (-w)}$
如果 $f(t)$ 是实信号，则 $f(t) = f^*(t)$ ，再由傅里叶的唯一性，则 $F(jw) = F^*(-jw)$ 。所以：实信号幅度双边谱是偶函数，相位双边谱是奇函数，即

$|F(jw)| = |F(-jw)| \\ j\varphi (w) = - j\varphi (-w)$
所以实偶信号的频谱为实偶函数，实奇信号的频谱为虚奇函数。
对称性

$f(t) \leftrightarrow F(jw) \\ F(jt) \leftrightarrow 2\pi f(- \omega)$

经典应用： $Sa(w_c t)$ 的频谱； $f(t) = 1$ `的频谱。
时域展缩性

$f(t) \leftrightarrow F(jw) \\ f(at) \leftrightarrow \frac{1}{|a|}F(j\frac{w}{a})$
时移，频移特性

时移特性 对应信号的延迟，不改变幅频特性。

$f(t) \leftrightarrow F(jw) \\ f(t - t_0) \leftrightarrow F(jw)e^{-jwt_0}$
频移特性 频移体现了调制、解调、变频等信号操作。

$f(t) \leftrightarrow F(jw) \\ f(t)e^{jw_0t} \leftrightarrow F[j(w - w_0)]$
【易错点】
- 时移的相位符号，记住延迟后的相位总是落后（所以是减而不是加）与原信号
- 频移的频率符号，由于调制后的信号增加了频率，因此频谱整体向右/高频（所以是减而不是加）移动
【例】

$\delta(t - t_0);\\ G_\tau (t - \frac{\tau}{2});\\ e^{jw_0 t};\\ cos(w_0 t) = \frac{1}{2}(e^{jw_0t} + e^{-jw_0t});\\ sin(w_0 t) = \frac{1}{2j}(e^{jw_0t} - e^{-jw_0t});\\$
时域 / 频域微分特性

时域微分特性

$f(t) \leftrightarrow F(jw)\\ \frac{\mathrm{d} f(t)}{\mathrm{dt}} \leftrightarrow jw F(jw)\\ \frac{\mathrm{d^n} f(t)}{\mathrm{dt^n}} \leftrightarrow (jw)^n F(jw)$
频域微分特性

$f(t) \leftrightarrow F(jw)\\ (-t)f(t) \leftrightarrow \frac{\mathrm{d}F(jw)}{\mathrm{d(jw)}}\\ tf(t) \leftrightarrow j \frac{\mathrm{d}F(jw)}{\mathrm{dw}}\\ t^nf(t) \leftrightarrow j^n \frac{\mathrm{d^n}}{\mathrm{dw^n}}F(jw)$
【说明】
- 时域的微分运算可以转换为频域的乘法运算，乘法因子为 $jw$
- 频域的微分运算可以转换为时域的乘法运算，乘法因子为 $-t$ ，注意的频域的微分运算是对 $jw$ 的求导
- 幂函数和冲激函数、求导运算很有关联，类似 $t^n$ 、 $(jw)^n$ 、 $\delta^{(n)}(t)$ 、 $\delta^{(n)}(w)$
【例】

$1 \leftrightarrow 2\pi \delta(w) \Rightarrow t \times 1 \leftrightarrow j \times 2\pi \delta^{'}(w) \Rightarrow 2\pi \delta(w)\\ u(t) \leftrightarrow \pi\delta(w) + \frac{1}{jw} \Rightarrow tu(t) \leftrightarrow j(\pi \delta^{'}(w) - \frac{1}{jw^2}) \Rightarrow j\pi \delta^{'}(w) - \frac{1}{w^2}\\ sgn(t) \leftrightarrow \frac{2}{jw} \Rightarrow |t| = t sgn(t) \leftrightarrow j(\frac{2}{jw})^{'} = - \frac{2}{w^2}\\ e^{-at}u(t) \leftrightarrow \frac{1}{a + jw} \Rightarrow te^{-at}u(t) \leftrightarrow \frac{1}{(a + jw)^2}$

【易错题】
已知 $f(t) \leftrightarrow F(jw)$ ，求 $(-t)f(-t)$ 的傅里叶变换?
正解：

$\begin{aligned} tf(t) &\leftrightarrow j\frac{dF(jw)}{dw}\\ -tf(-t) &\leftrightarrow j\frac{dF(-jw)}{d(-w)} = -j\frac{dF(-jw)}{d(w)} \end{aligned}$
错解：

$\begin{aligned} tf(t) &\leftrightarrow j\frac{dF(jw)}{dw}\\ -tf(-t) &\leftrightarrow j\frac{dF(-jw)}{dw} = j\frac{dF(-jw)}{dw} \end{aligned}$
设 $g(t) = tf(t)$ ，则 $g(-t)=(-t)f(-t)$ ，根据时域展缩特性应该有 $g(t)\leftrightarrow G(jw)$ ， $g(-t)\leftrightarrow G(-jw)$ ，对于微分运算若有 $f(t)=\frac{dg(t)}{dt}$ ，则 $f(2t)=\frac{dg(2t)}{d(2t)}$ （推导戳我），所以第一种解法是正确的。
时域 / 频域卷积定理

$f_1(t) * f_2(t) \leftrightarrow F_1(jw)F_2(jw)\\ f_1(t)\cdot f_2(t) \leftrightarrow \frac{1}{2 \pi} F_1(jw) * F_2(jw)$
【注】频域卷积定理勿忘 $\frac{1}{2\pi}$
时域积分定理

$\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau \leftrightarrow \frac{F(jw)}{jw} + \pi F(0)\delta(w)，其中F(0) = F(jw)|_{w = 0} = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt$
可以理解为 $f(t)$ 经过一个积分器，即

$f(t) * u(t) \leftrightarrow F(jw) \cdot (\frac{1}{jw} + \pi \delta(w))$
能量有限的巴什瓦等式

$\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^2dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(jw)|^2 dw$
【注】请勿忘 $\frac{1}{2\pi}$

1.2.3. 常见的傅里叶变换对

半边指数信号

e^{- a t} u (t) \leftrightarrow \frac{1}{a + j w}, a > 0

$e^{-at}u(t) \leftrightarrow \frac{1}{a + jw}, a > 0$

矩形脉冲信号

G_{τ} (t) \leftrightarrow τ S a (\frac{w τ}{2})

$G_{\tau}(t) \leftrightarrow \tau Sa(\frac{w\tau}{2})$

冲激信号

δ (t) \leftrightarrow 1

$\delta(t) \leftrightarrow 1$

单位直流信号

1 \leftrightarrow 2 π δ (ω)

$1 \leftrightarrow 2\pi \delta(\omega)$

阶跃信号

u (t) \leftrightarrow π δ (ω) + \frac{1}{j w}

$u(t) \leftrightarrow \pi \delta(\omega) + \frac{1}{jw}$

符号信号 $sgn(t)$

s g n (t) \leftrightarrow \frac{2}{j w}

$sgn(t) \leftrightarrow \frac{2}{jw}$

对称的双边指数信号

e^{- a | t |} \leftrightarrow \frac{2 a}{a^{2} + w^{2}}

$e^{-a|t|} \leftrightarrow \frac{2a}{a^2 + w^2}$

更多内容可戳这儿！

1.3. 周期信号的傅里叶变换

1.3.1. 公式推导

周期信号的傅里叶变换为一系列冲激函数的线性组合，冲激的发生在各次谐波频率上，强度为相应谐波分量复振幅的 $2\pi$ 倍。

\begin{aligned} f_{_{T}} (t) & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} F_{n} e^{j n \frac{2 π}{T} t} \\ 1 & \leftrightarrow 2 π δ (w) \\ e^{j n \frac{2 π}{T} t} & \leftrightarrow 2 π δ (w - n \frac{2 π}{T}) \end{aligned}

$\begin{aligned} f_{_T}(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{jn\frac{2\pi}{T}t}\\ 1 &\leftrightarrow 2\pi \delta(w)\\ e^{jn\frac{2\pi}{T}t} &\leftrightarrow 2\pi \delta(w - n\frac{2\pi}{T}) \end{aligned}$

令 $F_{_T}(t)$ 的傅里叶变换为 $F_{_T}(jw)$ ，则

\begin{aligned} F_{_{T}} & = F [\sum_{n = - \infty}^{\infty} F_{n} e^{j n \frac{2 π}{T} t}] \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} F_{n} F [e^{j n \frac{2 π}{T} t}] \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} F_{n} 2 π δ (w - n \frac{2 π}{T}) \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} 2 π F_{n} δ (w - n \frac{2 π}{T}) \end{aligned}

$\begin{aligned} F_{_T} &= \mathscr{F}[\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{jn\frac{2\pi}{T}t}]\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \mathscr{F}[e^{jn\frac{2\pi}{T}t}]\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n 2\pi \delta(w - n\frac{2\pi}{T})\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} 2\pi F_n \delta(w - n\frac{2\pi}{T}) \end{aligned}$

周期函数还可以表示为

f_{_{T}} (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} f (t - n T) = f (t) * δ_{_{T}} (t)

$f_{_T}(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(t-nT) = f(t) * \delta_{_T}(t)$

其中， $\displaystyle\delta_{_T}(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT)$ ，且 $\mathscr{F}[\delta_T(t)]=\Omega \delta_{_\Omega}(w)$ ，则周期信号的傅里叶变换还可以表示为

\begin{aligned} F [f_{_{T}} (t)] & = F (j w) \cdot Ω δ_{_{Ω}} (w) \\ = F (j w) \cdot Ω \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (w - n Ω) \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} Ω F (j n Ω) δ (w - n Ω) \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathscr{F}[f_{_T}(t)] &= F(jw) \cdot \Omega \delta_{_\Omega}(w)\\ &= F(jw) \cdot \Omega \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(w - n\Omega)\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \Omega F(jn\Omega) \delta(w - n\Omega) \end{aligned}$

【说明】

在时域上将 $f(t)$ 的波形进行以 $T$ 为周期的延拓，等效于在频域上对其频谱进行以 $\Omega = \frac{2\pi}{T}$ 为周期的等距离采样。
为做区分，将周期信号的傅里叶级数记为 $a_k$ ，则其傅里叶变换的关系为 $a_k = \frac{1}{T} F(jk\frac{2\pi}{T})$

1.3.2. 将周期信号进行时域压缩扩展

设 $f(t)$ 为周期为 $T_1$ 的周期信号，傅里叶变换为 $F(jw)$ ；
对 $f(t)$ 进行时域的扩展为 $f(2t)$ ，显然它也是一个周期信号，但周期变为 $T_2=\frac{T_1}{2}$ （关键）；

则 $f(2t)$ 的傅里叶变换为 $F_2(jw) = \frac{w}{2}F(j\frac{w}{2})$

考虑时域压缩前后的傅里叶级数：

\begin{aligned} a_{k} & = \frac{1}{T_{1}} F (j w) |_{w = k \frac{2 π}{T_{1}}} \\ = \frac{1}{T_{1}} F_{1} (j k \frac{2 π}{T_{1}}) \\ a_{k}^{'} & = \frac{1}{T_{2}} F_{2} (j w) |_{w = k \frac{2 π}{T_{2}}} \\ = \frac{2}{T_{1}} \cdot \frac{1}{2} F_{1} (j \frac{w}{2}) |_{w = k \frac{2 π}{T_{1} / 2}} \\ = \frac{1}{T_{1}} F_{1} (j k \frac{2 π}{T_{1}}) \end{aligned}

$\begin{aligned} a_k &= \frac{1}{T_1} F(jw)|_{w=k\frac{2\pi}{T_1}}\\ &= \frac{1}{T_1} F_1(j k\frac{2\pi}{T_1} )\\ a'_k &= \frac{1}{T_2} F_2(jw)|_{w=k\frac{2\pi}{T_2}}\\ &= \frac{2}{T_1} \cdot \frac{1}{2} F_1(j\frac{w}{2})|_{w=k\frac{2\pi}{T_1/2}}\\ &= \frac{1}{T_1} F_1(j k\frac{2\pi}{T_1} ) \end{aligned}$

两者竟然是一致的！这说明不同周期信号可能对应同一傅里叶级数。

上一篇信号与系统02 系统知识点

下一篇微分运算的时域扩展

本文作者：Wreng

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信号与系统03 连续时间的傅里叶变换

1. 连续时间的傅里叶变换

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三角形式的傅里叶级数

指数形式的傅里叶级数

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波形对称性与谐波特性的关系

频谱结构与波形参数的关系

周期信号的平均功率

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1.2.1. 计算公式

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