信号与系统03 连续时间的傅里叶变换

1. 连续时间的傅里叶变换

1.1. 周期信号的傅里叶级数 CTFS

1.1.1. 展开的条件

在正余弦信号集和虚指数信号集上可以精准正交分解的信号 \(f(t)\) 应满足 Dirichlet 条件（狄利克雷条件）:

  1. 在一个周期内，\(f(t)\) 绝对可积，即 \(\displaystyle \int_{t_0}^{t_0+T}|f(t)|dt < \infty\)
  2. 在一个周期内，\(f(t)\) 只能有有有限个极大值或极小值
  3. 在一个周期内，\(f(t)\) 只能有有限个间断点且不能是瑕点（函数值为无穷）

1.1.2. 计算公式

三角形式的傅里叶级数

\[ \begin{aligned} a_0 &= \displaystyle\frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) dt\\ a_n &= \displaystyle\frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cos (n\Omega t) dt\\ b_n &= \displaystyle\frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \sin (n\Omega t) dt\\ f(t) &= a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} [ a_n \cos(n\Omega t) + b_n \sin(n\Omega t) ] \end{aligned} \]

【注意】

  1. 基频 \(\Omega = 2\pi / T\)
  2. 对于三角形式的傅里叶级数，\(n\) 只能取正整数
  3. 三角形式的傅里叶级数也称为单边谱，\(a_n\)，\(b_n\) 与单边谱 \(F_n\) 多了个系数 2

指数形式的傅里叶级数

\[\begin{aligned} F_n &= \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-jn\Omega t} dt\\ f(t) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} F_n e^{jn\omega t} \end{aligned} \]

【注意】

  1. 指数形式的傅里叶级数也称为的单边谱，\(n\) 取任意整数
  2. \(F_n\) 一般是个复数 \(F_n = |F_n| e^{j\phi_n}\)

三角形式或指数形式傅里叶变换的关系

\[\begin{aligned} &\begin{cases} a_n = F_n + F_{-n}\\ b_n = F_n - F_{-n}\\ \end{cases} \\ &\begin{cases} F_n &= \frac{1}{2} (a_n - j b_n)\\ F_{-n} &= \frac{1}{2} (a_n + j b_n)\\ |F_n| &= \frac{1}{2} \sqrt{a_n^2 + b_n^2}\\ \phi_n &= \arctan \frac{b_n}{a_n} \end{cases} \end{aligned} \]

1.1.3. 周期信号的频谱分析

波形对称性与谐波特性的关系

  • 周期偶信号

    对于三角形式的傅里叶级数，只存在余弦项 \(a_n\)；
    对于指数形式的傅里叶级数，\(F_n\) 为纯实数；
    反推亦成立！

  • 周期奇信号

    对于三角形式的傅里叶级数，只存在正弦项 \(b_n\)；
    对于指数新式的傅里叶级数，\(F_n\) 为纯虚数；
    反推亦成立！

  • 奇谐信号

    奇谐信号是指信号平移半个周期 \(T/2\) 后，与原信号相加为0的信号，即 \(f(t) + f(t \pm T) = 0\)；
    奇谐信号的的傅里叶级数只含有奇次谐波项；
    反推亦成立！

  • 偶谐信号

    偶谐信号是指信号平移半个周期 \(T/2\) 后，与原信号相同的信号，即 \(f(t) = f(t + \frac{T}{2})\)；
    奇谐信号的傅里叶级数只含有由此谐波项；
    反推亦成立！

【例】

偶信号+奇谐信号 奇信号+奇谐信号 奇谐信号
偶信号+奇谐信号 奇信号+奇谐信号 奇谐信号

频谱结构与波形参数的关系

时域越宽，频域越窄，典型的例子就是“直流信号的频谱是单位冲激，单位冲激的频谱是直流”；

对于周期信号，周期越大，谱线间的间隔 \(\Omega = 2\pi/ T\) 越小；

周期信号的平均功率

\[\begin{aligned} P &= \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \|f(t)\|^2 dt\\ &= \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)f^*(t) dt = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \left(\sum_{n=-\infty}^{+\infty} F_n e^{jn\Omega t}\right)^* dt\\ &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} F^*_n \left( \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-jn\Omega t} \right)\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n^* F_n = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \|F_n\|^2\\ &= a_0^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty} (a_{n}^2 + b_n^2) \end{aligned} \]

上式为功率有限信号的巴什瓦等式，其物理意义：周期信号的平均功率等于直流分量及各次谐波平均功率之和（能量守恒）。

1.2. 非周期信号的傅里叶变换 CTFT

1.2.1. 计算公式

\[\begin{aligned} F(jw) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-jwt} dt\\ f(t) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(jw) e^{jwt} dw \end{aligned} \]

1.2.2. 性质

  1. 唯一性

    信号和频谱是一一对应的。

  2. 线性

    \[f_1(t) \leftrightarrow F_1(jw), f_2(t) \leftrightarrow F_2(jw)\\ af_1(t) + bf_2(t) \leftrightarrow aF_1(jw) + bF_2(jw) \]

  3. 奇偶不变性

    傅里叶变化不改变信号的奇偶性，即\(F(jw)\)与\(f(t)\)的奇偶性是相同的。

  4. 共轭特性

    \[f(t) \leftrightarrow F(jw) \\ f^*(t) \leftrightarrow F^*(-jw) \]

    写成相量的形式，即

    \[F(jw) = |F(jw)| e^{j \varphi (w)} \\ F(-jw) = |F(-jw)| e^{j \varphi (-w)} \\ F^*(-jw) = |F(-jw)| e^{- j \varphi (-w)} \]

    如果\(f(t)\)是实信号，则\(f(t) = f^*(t)\)，再由傅里叶的唯一性，则\(F(jw) = F^*(-jw)\)。所以：实信号幅度双边谱是偶函数，相位双边谱是奇函数，即

    \[|F(jw)| = |F(-jw)| \\ j\varphi (w) = - j\varphi (-w) \]

    所以实偶信号的频谱为实偶函数，实奇信号的频谱为虚奇函数。

  5. 对称性

    \[f(t) \leftrightarrow F(jw) \\ F(jt) \leftrightarrow 2\pi f(- \omega) \]

    经典应用： \(Sa(w_c t)\)的频谱；\(f(t) = 1\)`的频谱。

  6. 时域展缩性

    \[f(t) \leftrightarrow F(jw) \\ f(at) \leftrightarrow \frac{1}{|a|}F(j\frac{w}{a}) \]

  7. 时移，频移特性

    时移特性 对应信号的延迟，不改变幅频特性。

    \[f(t) \leftrightarrow F(jw) \\ f(t - t_0) \leftrightarrow F(jw)e^{-jwt_0} \]

    频移特性 频移体现了调制、解调、变频等信号操作。

    \[f(t) \leftrightarrow F(jw) \\ f(t)e^{jw_0t} \leftrightarrow F[j(w - w_0)] \]

    【易错点】

    • 时移的相位符号，记住延迟后的相位总是落后（所以是减而不是加）与原信号
    • 频移的频率符号，由于调制后的信号增加了频率，因此频谱整体向右/高频（所以是减而不是加）移动

    【例】

    \[\delta(t - t_0);\\ G_\tau (t - \frac{\tau}{2});\\ e^{jw_0 t};\\ cos(w_0 t) = \frac{1}{2}(e^{jw_0t} + e^{-jw_0t});\\ sin(w_0 t) = \frac{1}{2j}(e^{jw_0t} - e^{-jw_0t});\\ \]

  8. 时域 / 频域微分特性

    时域微分特性

    \[f(t) \leftrightarrow F(jw)\\ \frac{\mathrm{d} f(t)}{\mathrm{dt}} \leftrightarrow jw F(jw)\\ \frac{\mathrm{d^n} f(t)}{\mathrm{dt^n}} \leftrightarrow (jw)^n F(jw) \]

    频域微分特性

    \[f(t) \leftrightarrow F(jw)\\ (-t)f(t) \leftrightarrow \frac{\mathrm{d}F(jw)}{\mathrm{d(jw)}}\\ tf(t) \leftrightarrow j \frac{\mathrm{d}F(jw)}{\mathrm{dw}}\\ t^nf(t) \leftrightarrow j^n \frac{\mathrm{d^n}}{\mathrm{dw^n}}F(jw) \]

    【说明】

    • 时域的微分运算可以转换为频域的乘法运算，乘法因子为 \(jw\)
    • 频域的微分运算可以转换为时域的乘法运算，乘法因子为 \(-t\)，注意的频域的微分运算是对 \(jw\)的求导
    • 幂函数和冲激函数、求导运算很有关联，类似 \(t^n\) 、\((jw)^n\)、\(\delta^{(n)}(t)\)、\(\delta^{(n)}(w)\)

    【例】

    \[1 \leftrightarrow 2\pi \delta(w) \Rightarrow t \times 1 \leftrightarrow j \times 2\pi \delta^{'}(w) \Rightarrow 2\pi \delta(w)\\ u(t) \leftrightarrow \pi\delta(w) + \frac{1}{jw} \Rightarrow tu(t) \leftrightarrow j(\pi \delta^{'}(w) - \frac{1}{jw^2}) \Rightarrow j\pi \delta^{'}(w) - \frac{1}{w^2}\\ sgn(t) \leftrightarrow \frac{2}{jw} \Rightarrow |t| = t sgn(t) \leftrightarrow j(\frac{2}{jw})^{'} = - \frac{2}{w^2}\\ e^{-at}u(t) \leftrightarrow \frac{1}{a + jw} \Rightarrow te^{-at}u(t) \leftrightarrow \frac{1}{(a + jw)^2} \]

    【易错题】
    已知 \(f(t) \leftrightarrow F(jw)\)，求 \((-t)f(-t)\) 的傅里叶变换?
    正解：

    \[\begin{aligned} tf(t) &\leftrightarrow j\frac{dF(jw)}{dw}\\ -tf(-t) &\leftrightarrow j\frac{dF(-jw)}{d(-w)} = -j\frac{dF(-jw)}{d(w)} \end{aligned} \]

    错解：

    \[\begin{aligned} tf(t) &\leftrightarrow j\frac{dF(jw)}{dw}\\ -tf(-t) &\leftrightarrow j\frac{dF(-jw)}{dw} = j\frac{dF(-jw)}{dw} \end{aligned} \]

    设 \(g(t) = tf(t)\)，则 \(g(-t)=(-t)f(-t)\)，根据时域展缩特性应该有 \(g(t)\leftrightarrow G(jw)\)，\(g(-t)\leftrightarrow G(-jw)\)，对于微分运算若有\(f(t)=\frac{dg(t)}{dt}\)，则\(f(2t)=\frac{dg(2t)}{d(2t)}\)（推导戳我），所以第一种解法是正确的。

  9. 时域 / 频域卷积定理

    \[f_1(t) * f_2(t) \leftrightarrow F_1(jw)F_2(jw)\\ f_1(t)\cdot f_2(t) \leftrightarrow \frac{1}{2 \pi} F_1(jw) * F_2(jw) \]

    【注】 频域卷积定理勿忘 \(\frac{1}{2\pi}\)

  10. 时域积分定理

    \[\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau \leftrightarrow \frac{F(jw)}{jw} + \pi F(0)\delta(w)，其中F(0) = F(jw)|_{w = 0} = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt \]

    可以理解为 \(f(t)\) 经过一个积分器，即

    \[f(t) * u(t) \leftrightarrow F(jw) \cdot (\frac{1}{jw} + \pi \delta(w)) \]

  11. 能量有限的巴什瓦等式

    \[\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^2dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(jw)|^2 dw \]

    【注】 请勿忘 \(\frac{1}{2\pi}\)

1.2.3. 常见的傅里叶变换对

  • 半边指数信号

\[e^{-at}u(t) \leftrightarrow \frac{1}{a + jw}, a > 0 \]

  • 矩形脉冲信号

\[G_{\tau}(t) \leftrightarrow \tau Sa(\frac{w\tau}{2}) \]

  • 冲激信号

\[\delta(t) \leftrightarrow 1 \]

  • 单位直流信号

\[1 \leftrightarrow 2\pi \delta(\omega) \]

  • 阶跃信号

\[u(t) \leftrightarrow \pi \delta(\omega) + \frac{1}{jw} \]

  • 符号信号\(sgn(t)\)

\[sgn(t) \leftrightarrow \frac{2}{jw} \]

  • 对称的双边指数信号

\[e^{-a|t|} \leftrightarrow \frac{2a}{a^2 + w^2} \]

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1.3. 周期信号的傅里叶变换

1.3.1. 公式推导

周期信号的傅里叶变换为一系列冲激函数的线性组合，冲激的发生在各次谐波频率上，强度为相应谐波分量复振幅的 \(2\pi\) 倍。

\[\begin{aligned} f_{_T}(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{jn\frac{2\pi}{T}t}\\ 1 &\leftrightarrow 2\pi \delta(w)\\ e^{jn\frac{2\pi}{T}t} &\leftrightarrow 2\pi \delta(w - n\frac{2\pi}{T}) \end{aligned} \]

令 \(F_{_T}(t)\) 的傅里叶变换为 \(F_{_T}(jw)\)，则

\[\begin{aligned} F_{_T} &= \mathscr{F}[\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{jn\frac{2\pi}{T}t}]\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \mathscr{F}[e^{jn\frac{2\pi}{T}t}]\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n 2\pi \delta(w - n\frac{2\pi}{T})\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} 2\pi F_n \delta(w - n\frac{2\pi}{T}) \end{aligned} \]

周期函数还可以表示为

\[f_{_T}(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(t-nT) = f(t) * \delta_{_T}(t) \]

其中，\(\displaystyle\delta_{_T}(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT)\)，且 \(\mathscr{F}[\delta_T(t)]=\Omega \delta_{_\Omega}(w)\)，则周期信号的傅里叶变换还可以表示为

\[\begin{aligned} \mathscr{F}[f_{_T}(t)] &= F(jw) \cdot \Omega \delta_{_\Omega}(w)\\ &= F(jw) \cdot \Omega \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(w - n\Omega)\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \Omega F(jn\Omega) \delta(w - n\Omega) \end{aligned} \]

【说明】

  • 在时域上将 \(f(t)\) 的波形进行以 \(T\) 为周期的延拓，等效于在频域上对其频谱进行以 \(\Omega = \frac{2\pi}{T}\) 为周期的等距离采样。

  • 为做区分，将周期信号的傅里叶级数记为 \(a_k\)，则其傅里叶变换的关系为 \(a_k = \frac{1}{T} F(jk\frac{2\pi}{T})\)

1.3.2. 将周期信号进行时域压缩扩展

设 \(f(t)\) 为周期为 \(T_1\) 的周期信号，傅里叶变换为\(F(jw)\)；
对 \(f(t)\) 进行时域的扩展为 \(f(2t)\)，显然它也是一个周期信号，但周期变为 \(T_2=\frac{T_1}{2}\) （关键）；

则 \(f(2t)\) 的傅里叶变换为 \(F_2(jw) = \frac{w}{2}F(j\frac{w}{2})\)

考虑时域压缩前后的傅里叶级数：

\[\begin{aligned} a_k &= \frac{1}{T_1} F(jw)|_{w=k\frac{2\pi}{T_1}}\\ &= \frac{1}{T_1} F_1(j k\frac{2\pi}{T_1} )\\ a'_k &= \frac{1}{T_2} F_2(jw)|_{w=k\frac{2\pi}{T_2}}\\ &= \frac{2}{T_1} \cdot \frac{1}{2} F_1(j\frac{w}{2})|_{w=k\frac{2\pi}{T_1/2}}\\ &= \frac{1}{T_1} F_1(j k\frac{2\pi}{T_1} ) \end{aligned} \]

两者竟然是一致的！这说明不同周期信号可能对应同一傅里叶级数。

posted @ 2021-09-12 16:17  Wreng  阅读(1921)  评论(1)  编辑  收藏  举报