单位冲激偶信号δ'(t)的基本性质

单位冲激偶信号 $\delta^\prime(t)$ 的基本性质

1. $\delta^\prime(t)$的面积为零：$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \delta^\prime(t)dt = 0$

2. 筛选特性：$x(t)\delta^\prime(t-t_0) = x(t_0)\delta^\prime(t-t_0) - x^\prime(t_0)\delta(t-t_0)$

   推导过程：

   $$\begin{aligned} \left(x(t)\delta(t-t_0)\right)^\prime &= x(t_0)\delta'(t-t_0)\\ &= x'(t) \delta(t-t_0) + x(t)\delta'(t-t_0)\\ &= x'(t_0)\delta(t-t_0) + x(t)\delta'(t-t_0)\\ x(t)\delta'(t-t_0) &= x(t_0) \delta'(t-t_0) - x'(t_0)\delta(t-t_0) \end{aligned}$$

3. 取样特性：$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\delta^\prime(t-t_0) dt = -x^\prime(t_0)$

   注意积分区间是否包含冲激点。

4. 微分器：$x(t) * \delta^\prime(t) = x^\prime(t)$，$x(t)*\delta^\prime(t-t_0) = x^\prime(t-t_0)$

   推导过程：

   $$\begin{aligned} x(t) * \delta'(t-t_0) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x(k) \delta'\left( (t - k) -t_0 \right) dk\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} - x(k) \delta'\left(k-(t-t_0)\right) dk\\ &= -\int_{-\infty}^{+\infty} x(t-t_0)\delta'(k-(t-t_0)) - x'(t-t_0)\delta(k-(t-t_0)) dk\\ &= x'(t-t_0) \end{aligned}$$

   注意：卷积运算 $f(t)*g(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(k) g(t-k)$，若 $g(t)=h(t-t_0)$，则$g(t-k)=h(t-k-t_0)$，所以 $f(t)*h(t-t_0) = \int_{-\infty}^{\infty}f(k) h((t-k)-t_0)$。

5. 展缩特性：$\delta^\prime(at+b)=\frac{1}{a|a|}\delta^\prime(t+\frac{b}{a})$

6. 这是一个奇函数