傅里叶变换相关公式

在学习高数的时候，就接触了傅里叶变换。也就记得是将一些周期函数表示成一系列三角函数的叠加，不是很理解这个变换的具体意义，就是觉的挺神奇的，可以求一些特殊的积分什么之类的。
到了学习信号与系统的时候，离散序列也可以傅里叶变换，还有一个叫离散傅里叶变换，那时学得很草，考完试之后都混在一起，不知道谁是谁了。

关于什么是傅里叶变化，网上有很多大佬写的很好。这里我也不打算科普（毕竟墨水不多，想吐也吐不出来），主要目的还是方便自己日后复习，省去翻书查看公式。

粗略地介绍下，傅里叶转化具体可以包含3个大类：

1. CTFS和CTFT 连续（C）时间（T）傅里叶（F）系数（S）/ 变换（T）
2. DTFS和DTFT 离散（D）时间（T）傅里叶（F）系数（S）/ 变换（T）
3. DFS和DFT 离散（D）傅里叶（F）系数（S）/ 变换（T）

这些英文缩写值得记忆的，也能够帮助我们好好理解。

目录

• 连续时间傅里叶系数/变换
  • 周期的连续信号的CTFS
  • 非周期的连续信号的CTFT
• 离散时间傅里叶系数/变换
  • 周期序列的DTFS
  • 非周期序列的DTFT
• 离散傅里叶系数/变换
  • 周期序列的DFS
  • 非周期序列的DFT
• 总结

连续时间傅里叶系数/变换

周期的连续信号的CTFS

对象：连续的周期信号\(f(t)\)，同时得满足Dirichlet条件^[1]
表达公式：

• 三角形式（高数学的）

\[\begin{aligned} f(t) &= a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}(a_n \cos{k\Omega t}+b_n\sin{k\Omega t})\\ a_0 &= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}f(t)dt\\ a_k &= 2\cdot\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\cos{n\Omega t}dt\\ b_k &= 2\cdot\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}{f(t)\sin{n\Omega t}}dt\\ \end{aligned} \]

• 复指数形式（更加通用形式）
  \[\begin{aligned} f(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n e^{jn\Omega t}\\ F_n &= \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt\\ \end{aligned} \]
  两种形式可以相互转化，当\(n > 0\)的时候，\(F_n = \frac{1}{2}(a_n - jb_n)\)；当\(-n < 0\)时，\(F_{-n} = \frac{1}{2}(a_n + jb_n)\)。此式当\(n=0\)时\(F_0 = a_0\)。

非周期的连续信号的CTFT

对象：非周期的连续信号，同样得满足Dirichlet条件
表达公式：
设对一个非周期的连续信号\(f(t)\)的DTFT记为\(\mathscr F[f(t)]\)，则有

\[\begin{aligned} F(w)=\mathscr{F}[f(t)] &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-jwt} dt\\ \mathscr{F}^{-1}[F(w)] &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(w)e^{jwt}dw \end{aligned} \]

推导：
基本的思路是用一个周期无限长的信号来代替非周期信号，当周期足够长时可以忽略这种近似带来的影响。

1. 假设\(f(t)\)是一个有限的连续非周期信号，对它进行一个周期延拓得到一个周期函数\({f_T(t)}\)；

2. 对\({f_T(t)}\)进行DTFS，有\(\displaystyle f_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n e^{jn\Omega t}\)，而\(\displaystyle F_n = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt=\frac{1}{T}F(n\Omega)\)；

3. 当\(T\to +\infty\)时，这种用”无限的周期信号“近似代替”有限的非周期信号“的影响就会越小，此时\(\Omega=\frac{2 \pi}{T}\to 0\)，可记为一个微分\(\Delta w\)，同时\(n\Delta w\)可以看出一个连续量\(w\)，累加运算转化为积分运算，于是有

   \[\begin{aligned} f(t) &= \lim_{T\to +\infty} f_T(t)\\ &= \lim_{T\to +\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n e^{jn\Omega t}\\ &= \lim_{T\to +\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\Delta w}{2\pi}F(n\Delta w) e^{j\Delta w t}\\ &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(w)e^{jwt}dw\\ F(w) &= \lim_{T\to +\infty} \int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt\\ &= \lim_{T\to +\infty} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-jwt} dt\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-jwt} dt\\ \end{aligned} \]

也就是说，求一个信号\(f(t)\)的频谱\(F(w)\)，实际上与频率/旋转因子\(e^{-jwt}\)做一个积分，积分对象是时域上的\(t\)；反变换同样也是一个积分，积分对象是频域上的\(w\)。

周期信号的DTFT
周期信号的DTFT的推导需要用到一个傅里叶变换对\(\mathscr F(e^{jw_0t})=2\pi \delta(w-w_0)\)，则有

\[\begin{aligned} \mathscr{F}[f_T(t)] &= \mathscr{F}\Big( \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n e^{jn\Omega t}\Big)\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n \mathscr{F}(e^{jn\Omega t})\\ &= 2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n \delta(w-n\frac{2\pi}{T}) \end{aligned} \]

可见，有周期的连续信号在频域上是一系列的冲激函数之和，即在频域上是离散的。

离散时间傅里叶系数/变换

周期序列的DTFS

对象：周期的离散序列，无限长的序列必须绝对可和（和收敛）
表达公式：用一系列周期的复指数信号之和表示周期的离散序列

\[\begin{aligned} x_N(n) &= \sum_{k=<N>} a_k e^{jk\frac{2\pi}{N}n}\\ a_k &= \frac{1}{N}\sum_{n=<N>} x_N(n) e^{-jk\frac{2\pi}{N}n} \end{aligned} \]

其中\(a_k\)即为离散时间傅里叶系数（DTFS），注意符号\(\displaystyle\sum_{n=<N>}\)表示的是序列长度为\(N\)，但是起点可以任意起，通常我们取\(n=0,1, \cdots ,N-1\)。值得注意的是，\(a_k\)也是周期的，也是离散的。

复指数函数一定是周期函数，但是复指数序列\(e^{j\Omega n}\)不一定是周期序列，易证当\(\Omega\)为\(2\pi\)的有理数倍的时候才为周期序列。

非周期序列的DTFT

对象：有限长的非周期序列
表达公式：
设一有限的离散非周期序列的DTFT为\(\mathscr{F}[x(n)]\)，则有

\[\begin{aligned} \mathscr{F}[x(n)] &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)e^{-jwn}\\ \mathscr{F}^{-1}[X(w)] &= \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(w)e^{jwn}dw\\ \end{aligned} \]

因为\(x(n)\)是有限长度的，因此它的DTFT是复指数函数之和，也是一个连续的周期函数。与CTFT不同的是，DTFT是累加运算，但IDTFT仍是积分，但限制在\(2\pi\)的区间内。
推导：
与周期信号的思路一致，用无限周期的离散序列来近似代替有限的非周期离散序列。

1. 设一个有限的非周期序列\(x(n)\)，进行周期延扩得到\(x_N(n)\)；

2. 对\(x_N(n)\)进行DTFS，有\(\displaystyle x_N(n) = \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} a_k e^{jk\frac{2\pi}{N}n}\)，其中\(\displaystyle a_k = \frac{1}{N}\sum_{n=-N/2}^{N/2-1} x_N(n) e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}=\frac{1}{N}X(\Omega k)\)；

3. 当\(N\to +\infty\)，\(\Omega = \frac{2\pi}{N}\to 0\)可记为微分\(\Delta w\)，离散量\(\Delta w k\)变为连续量\(w\)，累加变为积分，即

   \[\begin{aligned} x(n) &= \lim_{N\to+\infty}x_N(n)\\ &= \lim_{N\to+\infty}\sum_{k=-N/2}^{N/2-1} a_k e^{jk\Omega n}\\ &= \lim_{N\to+\infty}\sum_{k=-N/2}^{N/2-1} \frac{\Delta w}{2\pi}X(\Delta w k) e^{jk\Omega n}\\ &= \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(w)e^{jwn}dw\\ X(w) &= \lim_{N\to+\infty}\sum_{n=-N/2}^{N/2-1} x_N(n) e^{-jk\Omega n}\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)e^{-jwn} \end{aligned} \]

周期序列的DTFT
根据变换对\(\mathscr{F}(e^{j\Omega_0 n})=\delta(w - \Omega_0)\)，则对于周期序列\(x_N(n)\)，有

\[\begin{aligned} \mathscr{F}(x_N(n)) &= \mathscr{F}(\sum_{k=<N>} a_k e^{jk\Omega n})\\ &= \sum_{k=<N>} a_k\mathscr{F}(e^{jk\Omega n})\\ &= \sum_{k=<N>} a_k\delta(w-k\Omega) \end{aligned} \]

可见，周期离散序列的DTFT在频域上是一系列的冲激函数，冲激强度由DFTS的值确定，同时具有周期性。

离散傅里叶系数/变换

实际中我们处理得更多的是离散的、有限长的信号，对离散序列进行DTFT得到的频谱却是连续的，计算机是不能直接进行处理的。在上信号与系统老师一直强调，时域上的离散性对应频域上的周期性，时域上的周期性对应频域上的离散性。因此，有一个很自然的想法，就是对时域上的有限序列进行周期延拓，这样频域上的数据不也是离散的吗？这就是DFT的基本思想，问题的关键是：这种方法好不好呢？准不准呢？

周期序列的DFS

对象：周期序列
说明：DFS可以从DTFS中推导出来，或者说DFS其实是DTFS的另一种形式（多乘了个周期）
表达式：

\[X_N(k) = \rm{DFS}(x_N(n))=Na_k = \sum_{n=<N>} x_N(n) e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}\\ x_N(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=<N>} X_N(k) e^{jk\frac{2\pi}{N}n} \]

非周期序列的DFT

DFT的基本原理：

1. \(x(n)\)进行周期延扩得到\(x_N(n)\)，这样时域的周期反映到频域上的离散；

2. 对\(x_N(n)\)进行DFS得到\(X_N(k)\)，这样时域上的离散反映到频域上的周期；

3. 取\(X_N(k)\)一个周期的值，得到的就是DFT，即

   \[X(k)=\rm{DFT}[x(n)] = \sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-jk\frac{2\pi}{N}n},0 \le k \le N-1\\ x(n) =IDFT[X(k)]= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} X(k) e^{jk\frac{2\pi}{N}n}, 0 \le n \le N-1\\ \]

   DFT可以看成是一个连续函数在时域上和频域上都被采样，由采样定理可知，当对DFT和离散序列乘以相应的采样函数即可得到原函数，也就是说DFT可以看出CTFT的一个近似。同时，对于一个确定的\(x(n)\)可以唯一延拓成唯一的\(x_N(n)\)，因此DFT是惟一的。

总结

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1. 是指满足绝对可积、有限的极值点和间断点的函数 ↩︎