莫比乌斯函数

唯一分解定理

$$n = \prod^{s}_{i=1} p_{i}^{a_i} = p_{1}^{a_1} p_{2}^{a_2} ··· p_{s}^{a_s}$$

莫比乌斯函数的定义

$$\mu (n) = \left\{ \begin{aligned} & 1 & & n = 1\\\ & 0 & & n含相同质因子\\\ & (-1)^s & & s为n的不同质因子的个数 \end{aligned} \right.$$

例：$\mu \{ 1,6,10,15 \} = 1$, $\mu \{ 4,8,9,12 \} = 0$, $\mu \{ 2,3,5,7,30 \} = -1$

筛法求莫比乌斯函数

若i是质数，$\mu [i] = -1$。

在线性筛中，每一个合数 $m$ 都是被最最小的质因子筛掉的。

设$p_j$是 $m$ 的最小质因子，则 $m$ 通过 $m = j \times p_j$ 筛掉

若 $i$ 能被 $p_j$ 整除，则 $i$ 也包含质因子 。
$\,\,\,\,\, \mu [m] = 0$。
若 $i$ 不能被 $p_j$ 整除，则 $m$ 比 $i$ 多一个不同质因子 $p_j$ 。
$\,\,\,\,\,$若 $\mu [i] = -1$，则 $\mu [m] = 1$ 。
$\,\,\,\,\,$若 $\mu [i] = 1$，则 $\mu [m] = -1$ 。
$\,\,\,\,\,$若 $\mu [i] = 0$，则 $\mu [m] = 0$ 。
$\,\,\,\,\,$所以 $\mu [m] = - \mu [i]$

const int N = 1000010;
int p[N], vis[N], cnt;
int mu[N];

void get_mu(int n){      //筛法求莫比乌斯函数
  mu[1] = 1;
  for(int i=2; i<=n; i++){
    if(!vis[i]){
      p[++cnt] = i;
      mu[i] = -1;
    }
    for(int j=1; i*p[j]<=n; j++){
      int m = i*p[j]; 
      vis[m] = 1;
      if(i%p[j] == 0){
        mu[m] = 0;
        break;
      } 
      else
        mu[m] = -mu[i];
    }
  }
}