齐次坐标的理解
一直对齐次坐标这个概念的理解不够彻底,只见大部分的书中说道“齐次坐标在仿射变换中非常的方便”,然后就没有了后文,今天在一个叫做“三百年 重生”的博客上看到一篇关于透视投影变换的探讨的文章,其中有对齐次坐标有非常精辟的说明,特别是针对这样一句话进行了有力的证明:“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一,它既能够用来明确区分向量和点,同时也更易用于进行仿射(线性)几何变换。”—— F.S. Hill, JR。
由于作者对齐次坐标真的解释的不错,我就原封不动的摘抄过来:
对于一个 向量 v 以及基 oabc ,可以找到一组坐标 (v1,v2,v3) ,使得 v = v1 a + v2 b + v3 c ( 1 )
而对于一个 点 p ,则可以找到一组坐标( p1,p2,p3 ),使得 p – o = p1 a + p2 b + p3 c ( 2 ),
从上面对 向量 和 点 的表达,我们可以看出为了在坐标系中表示一个 点 (如 p ),我们把点的位置看作是对这个基的原点 o 所进行的一个位移,即一个向量—— p – o (有的书中把这样的向量叫做位置向量 ——起始于坐标原点的特殊向量),我们在表达这个向量的同时用等价的方式表达出了点
p:p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3)
(1)(3) 是坐标系下表达一个 向量 和点 的不同表达方式。这里可以看出,虽然都是用代数分量的形式表达向量和点,但表达一个点比一个向量需要额外的信息。如果我写出一个代数分量表达 (1, 4, 7) ,谁知道它是个向量还是个点!
我们现在把( 1 )( 3 )写成矩阵的形式:v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)
p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o), 这里 (a,b,c,o) 是坐标基矩阵,右边的列向量分别是向量 v 和点 p 在基下的坐标。 这样,向量和点在同一个基下就有了不同的表达:3D 向量 的第 4 个代数分量是 0 ,而 3D 点 的第 4 个代数分量是 1 。像这种这种用 4 个代数分量表示 3D 几何概念的方式是一种齐次坐标表示。
这样,上面的 (1, 4, 7) 如果写成( 1,4,7,0 ),它就是个向量;如果是 (1,4,7,1) ,它就是个点。 下面是如何在普通坐标 (Ordinary Coordinate) 和齐次坐标 (Homogeneous Coordinate) 之间进行转换:
(1) 从普通坐标转换成齐次坐标时
如果 (x,y,z) 是个点,则变为 (x,y,z,1);
如果 (x,y,z) 是个向量,则变为 (x,y,z,0)
(2)从齐次坐标转换成普通坐标时
如果是 (x,y,z,1) ,则知道它是个点,变成 (x,y,z);
如果是 (x,y,z,0) ,则知道它是个向量,仍然变成 (x,y,z)
以上是通过齐次坐标来区分向量和点的方式。从中可以思考得知,对于平移 T 、旋转 R 、缩放 S 这 3 个最常见的仿射变换,平移变换只对于点才有意义,因为普通向量没有位置概念,只有大小和方向.
而旋转和缩放对于向量和点都有意义,你可以用类似上面齐次表示来检测。从中可以看出,齐次坐标用于仿射变换非常方便。
此外,对于一个普通坐标的 点 P=(Px, Py, Pz) ,有对应的一族齐次坐标 (wPx, wPy, wPz, w) ,其中 w 不等于零 。比如, P(1, 4, 7) 的齐次坐 标有 (1, 4, 7, 1) 、( 2, 8, 14, 2 )、( -0.1, -0.4, -0.7, -0.1 )等等 。 因此,如果把一个点从普通坐标变成齐次坐标,给 x,y,z 乘上同一个非零数 w ,然后增加第 4 个分量 w ;如果把一个齐 次坐标转换成普通坐标,把 前三个坐标同时除以第 4 个坐标,然后去掉第 4 个分量。
由于齐次坐标使用了 4 个分量来表达 3D 概念,使得平移变换可以使用矩阵进行,从而如 F.S. Hill, JR 所说,仿射(线性)变换的进行 更加方便。由于图形硬件已经普遍地支持齐次坐标与矩阵乘法,因此更加促进了齐次坐标使用,使得它似乎成为图形学中的一个标准。
以上很好的阐释了齐次坐标的作用及运用齐次坐标的好处。其实在图形学的理论中,很多已经被封装的好的API也是很有研究 的,要想成为一名专业的计算机 图形学 的 学习者,除了知其然必须还得知其所以然。 这样在遇到问题的时候才能迅速定位问题的根源,从而解决问题。
另一个帖子的介绍: http://www.cnblogs.com/kesalin/archive/2009/09/09/homogeneous.html
问题: 两条平行线会相交
![](https://images.cnblogs.com/cnblogs_com/kesalin/209114/r_railroad.jpg)
铁轨在无限远处相交于一点
在欧几里得几何空间里,两条平行线永远都不会相交。但是在投影空间中,如右图中的两条铁轨在地平线处却是会相交的,因为在无限远处它们看起来相交于一点。
在欧几里得(或称笛卡尔)空间里描述2D/3D 几何物体是很理想的,但在投影空间里面却并不见得。 我们用 (x, y
)
表
示笛卡尔空间中的一个 2D 点,而处于无限远处的点 (∞,∞)
在笛卡尔空间里是没有意义的。投影空间里的两条平行线会在无限远处相交于一点,但笛卡尔空间里面无法搞定这个问题(因为无限远处的点在笛卡尔空间里是没有
意义的),因此数学家想出齐次坐标这个点子来了。
解决办法: 其次坐标
由 August Ferdinand Möbius 提出的齐次坐标(Homogeneous coordinates)让我们能够在投影空间里进行图像和几何处理,齐次坐标用 N + 1个分量来描述 N 维坐标。比如,2D 齐次坐标是在笛卡尔坐标(X, Y)的基础上增加一个新分量 w,变成(x, y, w),其中笛卡尔坐标系中的大X,Y 与齐次坐标中的小x,y有如下对应关系:
X = x/w
Y = y/w
笛卡尔坐标中的点 (1, 2) 在齐次坐标中就是 (1, 2, 1) 。如果这点移动到无限远(∞,∞)处,在齐次坐标中就是 (1, 2, 0) ,这样我们就避免了用没意义的"∞" 来描述无限远处的点。
为什么叫齐次坐标?
前面提到,我们分别用齐次坐标中的 x 和 y 除以 w 就得到笛卡尔坐标中的 x 和 x,如图所示:
仔细观察下面的转换例子,可以发现些有趣的东西:
上
图中,点 (1, 2, 3), (2, 4, 6) 和 (4, 8, 12) 对应笛卡尔坐标中的同一点 (1/3, 2/3)。
任意数量积的(1a, 2a, 3a) 始终对应于笛卡尔坐标中的同一点 (1/3,
2/3)。因此这些点是“齐次”的,因为他们始终对应于笛卡尔坐标中的同一点。换句话说,齐次坐标描述缩放不变性(scale invariant)。
证明: 两平行线可以相交
笛卡尔坐标系中,对于如下两个直线方程:
如果 C ≠ D,以上方程组无解;如果 C = D,那这两条线就是同一条线了。
下面我们用 x/w, y/w 代替 x, y 放到投影空间里来求解:
现在我们就可以在 C ≠ D 的情况得到一组解 (x, y, 0),代入得
(C - D)w = 0,因为 C ≠ D,所以 w = 0。因而,两条平行线相交于投影空间中无限远处的一点
(x, y, 0)。
齐次坐标在计算机图形学中是有用的,将 3D 场景投影到 2D 平面的过程中就用到它了。
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