[备忘]求两数最大公约,最小公倍数

 求两数最大公约,最小公倍数

 

 

P120 6.1 <谭>

输入两个正整数m和n, 求其最大公约数和最小公倍数.

<1> 用辗转相除法求最大公约数
算法描述:
m对n求余为a, 若a不等于0
则 m <- n, n <- a, 继续求余
否则 n 为最大公约数
<2> 最小公倍数 = 两个数的积 / 最大公约数

#include <stdio.h>
int main()
{
    int m, n;
    int m_cup, n_cup, res;          /*被除数, 除数, 余数*/
    printf("Enter two integer:\n");
    scanf("%d %d", &m, &n);
    if (m > 0 && n >0)
    {
        m_cup = m;
        n_cup = n;

        res = m_cup % n_cup;
        while (res != 0)
        {
            m_cup = n_cup;
            n_cup = res;
            res = m_cup % n_cup;
        }

        printf("Greatest common divisor: %d\n", n_cup);
        printf("Lease common multiple  : %d\n", m * n / n_cup);
    }
    else printf("Error!\n");
    return 0;
}

★ 关于辗转相除法, 搜了一下, 在我国古代的《九章算术》中就有记载，现摘录如下:

约分术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”

其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法，实际上就是辗转相除法。

辗转相除法求最大公约数，是一种比较好的方法，比较快。

对于52317和75569两个数，你能迅速地求出它们的最大公约数吗？一般来说你会找一找公共的使因子，这题可麻烦了，不好找，质因子大。

现在教你用辗转相除法来求最大公约数。

先用较大的75569除以 52317，得商1，余数23252，再以52317除以23252，得商2，余数是5813，再用23252做被除数，5813做除数，正好除尽得商数 4。这样5813就是5569和52317的最大公约数。你要是用分解使因数的办法，肯定找不到。

那么，这辗转相除法为什么能得到最大公约数呢？下面我就给大伙谈谈。

比如说有要求a、b两个整数的最大公约数，a＞b，那么我们先用a除以b，得到商8，余数r1：a÷b＝q1…r1我们当然也可以把上面这个式子改写成乘法式：a＝bq1＋r1------l）

如果r1＝0，那么b就是a、b的最大公约数3。要是r1≠0，就继续除，用b除以r1，我们也可以有和上面一样的式子：

b＝r1q2＋r2-------2）

如果余数r2＝0，那么r1就是所求的最大公约数3。为什么呢？因为如果2）式变成了b＝r1q2，那么b1r1的公约数就一定是a1b的公约数。这是因为一个数能同时除尽b和r1，那么由l）式，就一定能整除a，从而也是a1b的公约数。

反过来，如果一个数d，能同时整除a1b，那么由1）式，也一定能整除r1，从而也有d是b1r1的公约数。

这样，a和b的公约数与b和r1的公约数完全一样，那么这两对的最大公约数也一定相同。那b1r1的最大公约数，在r1＝0时，不就是r1吗？所以a和b的最大公约数也是r1了。

有人会说，那r2不等于0怎么办？那当然是继续往下做，用r1除以r2，……直到余数为零为止。

在这种方法里，先做除数的，后一步就成了被除数，这就是辗转相除法名字的来历吧。

一般用辗转相除法，都列成下面的式子：

              

不过，《九章》中的辗转相除法略有些不同，它叫“更相减损”，是辗转相减的方法。这也很好理解，除法就是一种连续地减去除数的一种简便运算，一直减到结果比除数小为止。

比如我们用“更相减损法”来求91 和49的最大公约数，可以由91减49一次，得余42；再由49减42一次，余7；更由42减7，这一回要减五次，余的还是7，再减，就是0了。那么这个 7就是91和49的最大公约数。这个7就是约分术中所谓的“等数”，因为减得结果和最后一次的减数相等了，就叫等数。

辗转相除法在小学中学都没教过，恐怕是有点难讲清其中的道理。不过，两千多年前的古人居然有此创造，咱们后人再学不会，可就惭愧了，何况这还是一种很实用的方法