【算法】数学中的斐波那契数列

数学中有一种数列称为 斐波那契数列（Fibonacci sequence), 又称为 黄金分割数列, 因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）  => 可以看出，斐波那契数列是一个线性递推数列

 

斐波那契数列指的是这样一个数列：

 0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711……

这个数列的规律是：  从这个数列的第3项开始，每一项都等于前面2项之和

那么，在代码中如何来实现这个数列呢  ==》有2个方法，从它的规律可以看出，最简单直接的显然是递归方法, 但是递归方法的效率低 , 尤其是n比较大时，递归的效率是非常非常差的,比如n=100时，估计计算机需要计算个10分钟左右，其时间复杂度是O(2^n) => 也就是说随着n的增加，时间复杂度呈指数级别增长, 因为我们发现在递归的过程中，我们在不断重复计算 f(n-1)和 f(n-2)的值， 即计算数列中的某个数，都会从1开始重新一步一步这样递归计算，这样的效率肯定会很慢

第一种方法：     递归的代码如下

public int Fibonacci(n)
{
      if(n == 0)
         return 0;
      if(n == 1 || n==2)
         return 1;
      if(n > 2)
        return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
     
     

}

 

第二种方法：     迭代实现 =>  推荐使用迭代实现的方式，这样的效率要高很多

public int Fibonacci(n)
{
      if(n == 0)
         return 0;
      if(n == 1 || n==2)
         return 1;
    
     int left =1, right =1, sum = 0; //定义初始值
  // 我们用一个for循环, left、right分别为前两项，sum为前面2项之和,然后进行交换，把right赋给新的left,sum赋给新的right，得到新的sum值
    for(int i = 3; i <= n; i++)
    {
        sum = left + right;
        left = right;
        right = sum;
    }      

    return sum; 

     
     

}